Vérification du principe d'incertitude pour un oscillateur harmonique quantique

Teneur

Pas
Des astuces

L`oscillateur harmonique quantique est l`analogie quantique de l`oscillateur harmonique simple classique. En utilisant la solution de l`état fondamental, nous prenons la position et les valeurs d`impulsion attendues, et vérifions le principe d`incertitude avec elle.

Pas

Partie1 sur 3: Une solution d`état fondamental

1. Rappelez-vous l`équation de Schrödinger. Cette équation différentielle partielle est l`équation fondamentale du mouvement dans la mécanique quantique, décrivant comment un état quantique

??

$psi$ évolue dans le temps.

\hat{hein}

${hat{H}}$ désigne l`hamiltonien, l`opérateur énergétique qui décrit l`énergie totale d`un système.

$je ?? ?? ?? ?? t = \hat{hein} ??$ $ihbar {frac{partial psi }{partial t}}={hat{H}}psi$

2. Écrire l`hamiltonien pour l`oscillateur harmonique. Bien que les variables de position et de quantité de mouvement aient été remplacées par leurs opérateurs correspondants, l`expression ressemble toujours à celle de l`énergie cinétique et potentielle d`un oscillateur harmonique classique. Puisque nous travaillons dans l`espace physique, la position de l`opérateur est donnée par

\hat{X} = X,

${hat{x}}=x,$ tandis que l`opérateur d`impulsion est donné par

\hat{p} = - je ?? ?? ?? X .

${hat{p}}=-ihbar {frac{partial }{partial x}}$

\hat{hein} = \hat{p} 2 2 m + \frac{1}{2} m {??}^{2}^{\hat{X} 2}

${hat{H}}={frac{{hat{p}}^{{2}}}{2m}}+{frac{1}{2}}momega ^{{2}} {hat{x}}^{{2}}$

3. Écrire l`équation de Schrödinger indépendante du temps. On voit que l`hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, donc les solutions de l`équation seront des états immuables. L`équation de Schrödinger indépendante du temps est une équation de la valeur propre, donc la résoudre signifie que nous trouvons les valeurs propres d`énergie et leurs fonctions propres correspondantes - les fonctions d`onde -.

- ?? 2 2 m ré 2 ?? ré X^{2} + \frac{1}{2} m {??}^{2} X^{2} ?? = E ??

$-{frac{hbar ^{{2}}}{2m}}{frac{{mathrm{d}}^{{2}}psi }{{mathrm{d}}x^{{ 2}}}}+{frac{1}{2}}momega ^{{2}}x^{{2}}psi =Epsi$

4. Résoudre l`équation différentielle. Cette équation différentielle a des coefficients variables et ne peut pas être facilement résolue avec des méthodes simples. Cependant, après normalisation, la solution de l`état fondamental peut être écrite sous la forme :. Rappelez-vous que cette solution ne décrit qu`un oscillateur unidimensionnel.

?? (X) = (m ?? ?? ??) 1 / 4 \exp ?? (- m ?? 2 ?? X^{2})

$psi (x)=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/4}}exp left(-{frac{momega }{ 2hbar }}x^{{2}}right)$

Il s`agit d`une gaussienne, centrée sur

X = 0.

$x=0$ On profite du fait que cette fonction sert même à simplifier nos calculs dans la partie suivante.

Partie 2 sur 3: Valeurs attendues

1. Rappelez-vous la formule de l`incertitude. L`incertitude d`une valeur observable telle qu`une position est mathématiquement égale à l`écart type. C`est-à-dire que nous déterminons la valeur moyenne, soustrayons chaque valeur de la moyenne, cadrons ces valeurs et calculons la moyenne, puis soustrayons la racine carrée du résultat.

$?? X = \sqrt{sexe X} 2 sexe - sexe X {sexe}^{2}$ $sigma _{{x}}={sqrt{langle x^{{2}}rangle -langle xrangle ^{{2}}}}$

2. Déterminer sexeXsexe{displaystyle langle xrangle } $langle xrangle$ . Puisque la fonction est paire, on peut déduire de la symétrie que

sexe X sexe = 0.

$lang xrangle =0$

Si vous écrivez l`intégrale que vous deviez évaluer, vous voyez que l`intégrande est une fonction impaire, car une fonction impaire multipliée par une fonction paire est impaire.

sexe X sexe = ?? - ?? ?? X | ?? (X) |^{2} ré X

$langle xrangle =int _{{-infty }}^{{infty }}x|psi (x)|^{{2}}{mathrm{d}}x$

Une propriété d`une fonction impaire est que pour chaque valeur positive de la fonction, il y a un doppelganger - une valeur négative associée - qui annule la fonction. Puisque nous avons toutes les valeurs de

X

$X$ évaluer, on sait que l`intégrale devient 0, sans avoir à faire les calculs.

3. calculer sexeX2sexe{displaystyle langle x^{2}rangle } $langle x^{{2}}rangle$ . Puisque notre solution est écrite comme une fonction d`onde continue, nous utilisons l`intégrale ci-dessous. L`intégrale décrit la valeur attendue pour

X 2

$x^{{2}}$ , intégré dans tout l`espace.

sexe X 2 sexe = {??}_{- ??}^{??} X^{2} | ?? (X) |^{2} ré X

$langle x^{{2}}rangle =int _{{-infty }}^{{infty }}x^{{2}}|psi (x)|^{{2}}{ mathrm{d}}x$

4. Substituer la fonction d`onde dans l`intégrale et simplifier. On sait que la fonction d`onde est paire. Le carré d`une fonction paire est également pair, nous pouvons donc prendre un facteur de 2 en dehors de la parenthèse et abaisser la limite inférieure à 0.

sexe X 2 sexe = 2 (^{m ?? ?? ??) 1 / 2} {??}_{0}^{??} X^{2} \exp ?? (- m ?? ?? X^{2}) ré X

$langle x^{{2}}rangle =2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}int _{{0}} ^{{infty }}x^{{2}}exp left(-{frac{momega }{hbar }}x^{{2}}right){mathrm{d}} X$

5. Évaluer. Soyez le premier à

?? = m ?? ?? .

$alpha ={frac{momega }{hbar }}$ Ensuite on n`intègre pas par partie, mais on utilise la fonction gamma.

\begin{matrix} sexe X \end{matrix} 2 sexe = 2 (^{m ?? ?? ??) 1 / 2} {??}_{0}^{??} X^{2} e^{- ??} X^{2} ré X, vous = ?? X^{2} = 2 (^{m ?? ?? ??) 1 / 2} {??}_{0}^{??} \frac{vous}{??} e^{- vous} ré vous 1 2 ?? X, X = \sqrt{\frac{vous}{??}} = (^{m ?? ?? ??) 1 / 2} {??}^{- 3 / 2} {??}_{0}^{??} {vous}^{1 / 2} e^{- vous} ré vous = (^{m ?? ?? ??) 1 / 2} (^{m ?? ??) - 3 / 2} ?? (\frac{3}{2}), ?? (\frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{??}}{2} = ?? m ?? \frac{1}{\sqrt{??}} \frac{\sqrt{??}}{2} = ?? 2 m ??

${begin{aligned}langle x^{{2}}rangle &=2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}} int _{{0}}^{{infty }}x^{{2}}e^{{-alpha x^{{2}}}}{mathrm{d}}x, u =alpha x^{{2}}\&=2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}int _{{ 0}}^{{infty }}{frac{u}{alpha }}e^{{-u}}{mathrm{d}}u{frac{1}{2alpha x}} , x={sqrt{{frac{u}{alpha }}}}\&=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{ {1/2}}alpha ^{{-3/2}}int _{{0}}^{{infty }}u^{{1/2}}e^{{-u}}{ mathrm{d}}u\&=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}left({frac{m omega }{hbar }}right)^{{-3/2}}Gamma left({frac{3}{2}}right), Gamma left({frac{3 }{2}}right)={frac{{sqrt{pi }}}{2}}\&={frac{hbar }{momega }}{frac{1} {{sqrt{pi }}}}{frac{{sqrt{pi }}}{2}}\&={frac{hbar }{2momega }}end{aligné }}$

6. Arriver à l`incertitude de la position. En utilisant la relation que nous avons établie à l`étape 1 de cette section, il suit

?? X

$sigma _{{x}}$ immédiatement de nos résultats.

?? X = \sqrt{??} 2 m ??

$sigma _{{x}}={sqrt{{frac{hbar }{2momega }}}}$

sept. Déterminer sexepsexe{displaystyle langle prangle } $longuerangle$ . Comme pour la position moyenne, un argument de symétrie peut être avancé, conduisant à

sexe p sexe = 0.

$langprangle =0$ .

8. calculer sexep2sexe{displaystyle langle p^{2}rangle } $langle p^{{2}}rangle$ . Au lieu d`appliquer directement la fonction d`onde pour calculer cette valeur attendue, nous pouvons utiliser l`énergie de la fonction d`onde pour simplifier les calculs nécessaires. L`énergie de l`état fondamental de l`oscillateur harmonique est donnée ci-dessous.

E 0 = \frac{1}{2} ?? ??

$E_{{0}}={frac{1}{2}}hbar omega$

9. Relier l`énergie de l`état fondamental à l`énergie cinétique et potentielle de la particule. On s`attend à ce que cette relation soit valable non seulement pour chaque position et impulsion, mais aussi pour leurs valeurs attendues.

\frac{1}{2} ?? ?? = sexe p 2 sexe 2 m + \frac{1}{2} m {??}^{2} sexe X^{2} sexe

${frac{1}{2}}hbar omega ={frac{langle p^{{2}}rangle {2m}}+{frac{1}{2}}momega ^ {{2}}langle x^{{2}}rangle$

dix. Résoudre pour sexep2sexe{displaystyle langle p^{2}rangle } $langle p^{{2}}rangle$ .

m ?? ?? = sexe p 2 sexe + m^{2} {??}^{2} ?? 2 m ??

$mhbar omega =langle p^{{2}}rangle +m^{{2}}omega ^{{2}}{frac{hbar }{2momega }}$

sexe p 2 sexe = m ?? ?? 2

$langle p^{{2}}rangle ={frac{mhbar omega }{2}}$

11. Arriver à l`incertitude dans la dynamique.

?? p = \sqrt{} m ?? ?? 2

$sigma _{{p}}={sqrt{{frac{mhbar omega }{2}}}}$

Partie 3 sur 3: Vérification de la relation d`incertitude

1. Considérez le principe d`incertitude de Heisenberg pour la position et l`élan. La relation d`incertitude est une limite fondamentale à la précision avec laquelle nous pouvons mesurer certaines paires de données observables, telles que la position et la quantité de mouvement. Consultez les conseils pour plus d`informations sur le principe d`incertitude.

$?? X {??}_{p} ?? \frac{??}{2}$ $sigma _{{x}}sigma _{{p}}geq {frac{hbar }{2}}$

2. Substituer les incertitudes de l`oscillateur harmonique quantique.

\begin{matrix}  \end{matrix} \sqrt{??} 2 m ?? \sqrt{} m ?? ?? 2 ?? \frac{??}{2} \frac{??}{2} & ?? \frac{??}{2}

${begin{aligned}{sqrt{{frac{hbar }{2momega }}}}{sqrt{{frac{mhbar omega }{2}}}}&geq { frac{hbar }{2}}\{frac{hbar }{2}}&geq {frac{hbar }{2}}end{aligned}}$

Nos résultats sont en accord avec le principe d`incertitude. En fait, cette relation n`atteint que l`égalité des états fondamentaux - en supposant un état d`énergie plus élevé, l`incertitude de la position et de la quantité de mouvement ne fait qu`augmenter.

Des astuces

Il existe deux manières d`expliquer la question de savoir pourquoi la relation d`incertitude existe.

De la mécanique ondulatoire, les expressions de la fonction d`onde en termes de position et de dynamique, sont des transformées de Fourier les unes des autres. Une propriété de la transformée de Fourier est qu`une fonction et sa transformée de Fourier ne sont pas toutes deux localisées sans ambiguïté.
Un exemple simple est la transformée de Fourier de la fonction rectangulaire. Au fur et à mesure que la largeur de la fonction diminue (devient plus localisée), la transformée de Fourier (une courbe sinusoïdale) devient de plus en plus plate. Un exemple extrême est la fonction delta de Dirac, où la largeur est infinitésimale (localité parfaite). La transformée de Fourier est une constante (incertitude infinie).
L`autre façon de voir les choses vient de la mécanique matricielle. Les opérateurs de position et de quantité de mouvement ont une relation de commutation non nulle. Si deux opérateurs commutent, alors leur relation de commutation serait nulle, comme indiqué par les parenthèses ci-dessous.

$[\hat{X}, \hat{p}] = \hat{X} \hat{p} - \hat{p} \hat{X} = je ??$ $[{hat{x}},{hat{p}}]={hat{x}}{hat{p}}-{hat{p}}{hat{x}}=i hbar$

Il s`avère que cette relation de commutation doit impliquer un principe d`incertitude fondamental. Lorsqu`un opérateur

\hat{X}

${hat{x}}$ agit sur un état, puis la fonction d`onde s`effondre à l`état propre de

\hat{X}

${hat{x}}$ avec une valeur de mesure unique (la valeur propre). Cependant, l`état propre de

\hat{X}

${hat{x}}$ ne doit pas nécessairement être un état propre d`un autre opérateur

\hat{p} .

${hat{p}}$ Si tel est le cas, alors il n`y a pas de mesure unique pour les données observables

p,

$p,$ ce qui signifie que l`état ne peut être écrit que comme une combinaison linéaire d`états propres basés sur la quantité de mouvement. (Lorsque deux opérateurs commutent, ils ont un ensemble simultané d`états propres en commun (également appelé dégénérescence) et les deux données observables peuvent être mesurées simultanément avec une précision arbitraire. C`est toujours le cas avec la mécanique classique.)

C`est la source du principe d`incertitude. Ce n`est pas en raison des limitations de nos instruments que nous ne pouvons pas mesurer la position et la quantité de mouvement d`une particule avec une précision arbitraire. C`est plutôt une propriété fondamentale des particules elles-mêmes.