Trouver l'inverse d'une équation quadratique

Les fonctions inverses peuvent être très utiles pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques. Être capable de prendre une fonction et de trouver sa fonction inverse est un outil puissant. Cependant, avec les équations quadratiques, cela peut être un processus assez compliqué. Vous devez d`abord définir soigneusement l`équation, en déterminant un domaine et une plage appropriés. Vous avez alors le choix entre trois méthodes pour calculer la fonction inverse. Le choix de la méthode est principalement une question de préférence personnelle.

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Méthode 1 sur 3: Trouver l`inverse d`une fonction simple

1. Trouver une fonction sous la forme de $$oui=uneX2+c{displaystyle y=ax^{2}+c}. Si vous avez le "bon" type de fonction pour commencer, vous pouvez trouver l`inverse avec une simple algèbre. Cette forme est une sorte de variation sur $\mathrm{oui}=\mathrm{une}{X}^{}$. Si vous comparez cela avec une fonction quadratique standard, $\mathrm{oui}=\mathrm{une}{X}^{}$, voir que le moyen terme $bX$ est manquant. Une autre façon de dire cela est que la valeur de b est zéro. Si votre fonction a cette forme, trouver l`inverse est assez facile.

• Votre fonction de départ ne doit pas nécessairement ressembler exactement à $\mathrm{oui}=\mathrm{une}{X}^{}$. Tant que vous pouvez le regarder et voir que la fonction se compose uniquement de $X^{}$ termes et nombres constants, vous pourrez utiliser cette méthode.
• Supposons que vous commenciez par l`équation $2\mathrm{oui}-6+X^{}$. Un examen rapide de cette équation révèle qu`il n`y a pas de termes de $X$ être à la première puissance. Cette équation est un candidat pour cette méthode pour trouver une fonction inverse.

2. Simplifier en combinant des termes similaires. L`équation initiale peut avoir plusieurs termes dans une combinaison d`addition et de soustraction. Votre première étape consiste à combiner des termes similaires pour simplifier l`équation et la réécrire dans le format standard $\mathrm{oui}=\mathrm{une}{X}^{}$.

Prenons l`exemple de comparaison $2\mathrm{oui}-6+X^{}$, où les termes y peuvent être déplacés vers la gauche en soustrayant un y des deux côtés. Les autres termes peuvent être déplacés vers la droite en ajoutant 6 des deux côtés et $X^{}$ tirer des deux côtés. L`équation résultante est $\mathrm{oui}=2X^{}$.

Voir l`exemple de comparaison $\mathrm{oui}=2X^{}$. Il n`y a pas de limitation sur les valeurs autorisées de x pour cette équation. Cependant, vous devez comprendre qu`il s`agit de l`équation d`une parabole, avec x=0 comme centre, et qu`une parabole n`est pas une fonction car ce n`est pas une comparaison un à un des valeurs x et y. Pour limiter cette équation et en faire une fonction, pour laquelle nous pouvons trouver un inverse, nous devons définir le domaine comme x≥0.

La gamme est limitée de la même manière. A noter que le premier terme, $2X^{}$, sera toujours positif ou 0, pour toute valeur de x. Ensuite, si l`équation ajoute +2, la plage sera n`importe quelle valeur y≥2.

Travailler avec l`exemple de comparaison $\mathrm{oui}=2X^{}$, cette étape d`inversion aboutira à la nouvelle équation de $X=2{\mathrm{oui}}^{}$.

Un autre format consiste à remplacer les termes y par x, mais remplacer les termes x par soit ${\mathrm{oui}}^{}$ ou $F(X{)}^{}$ pour indiquer la fonction inverse.

5. Réécrire l`équation inverse en fonction de y. En utilisant une combinaison d`étapes algébriques et en vous assurant que la même opération est effectuée des deux côtés de l`équation, vous devrez isoler la variable y. Pour la comparaison $X=2{\mathrm{oui}}^{}$, cette révision ressemble à ceci :

$X=2{\mathrm{oui}}^{}$ (prémisse d`origine)

$X-2=2{\mathrm{oui}}^{}$ (soustrayez 2 des deux côtés)

$$ (diviser les deux côtés par 2)

±$$ (racine carrée des deux côtés ; rappelez-vous que la racine carrée donne des réponses possibles positives et négatives)

Voir la solution de l`exemple d`équation ±$$. Comme la fonction racine carrée n`est pas définie pour les valeurs négatives, le terme . doit être $$ toujours être positif. Par conséquent, les valeurs autorisées de x (le domaine) doivent être x≥2. Avec cela comme domaine, les valeurs résultantes de y (la plage) sont soit toutes les valeurs y≥0, si vous prenez la solution positive de la racine carrée, soit y≤0, si vous prenez la solution négative de la racine carrée. Notez que pour trouver la fonction inverse, vous avez initialement défini le domaine comme x≥0. Par conséquent, la solution correcte pour la fonction inverse est l`option positive.

Comparez le domaine et la plage de l`inverse avec le domaine et la plage de l`original. Rappelez-vous que pour la fonction d`origine, $\mathrm{oui}=2X^{}$, le domaine a été défini comme toutes les valeurs de x≥0, et la plage a été définie comme toutes les valeurs de y≥2. Pour la fonction inverse, maintenant ces valeurs s`échangent, et le domaine est toutes les valeurs de x≥2, et la plage est toutes les valeurs de y≥0.

A titre d`exemple, choisissez la valeur x=1 pour l`équation d`origine $\mathrm{oui}=2X^{}$. Cela donne le résultat y=4.

Ensuite tu mets la valeur 4 dans la fonction inverse $$. Cela donne en effet le résultat y=1. Vous pouvez conclure que votre fonction inverse est correcte.

Méthode 2 sur 3: Compléter le carré pour trouver la fonction inverse

1. Donner à l`équation quadratique la forme correcte. Pour trouver l`inverse, il faut partir de l`équation de la forme $F\left(X\right)=\mathrm{une}{X}^{}$. Si nécessaire, vous devez combiner des termes similaires pour obtenir l`équation dans ce format. Avec l`équation écrite de cette façon, vous pouvez en dire un peu plus à ce sujet.

• La première chose que vous remarquerez est la valeur du coefficient a. si un>0, alors l`équation définit une parabole dont les extrémités pointent vers le haut (parabole de la vallée). si un<0, alors l`équation définit une parabole dont les extrémités pointent vers le bas (parabole de montagne). Notez que a≠0. Si ce n`était pas le cas, ce serait une fonction linéaire et non quadratique.

2. Reconnaître le format standard du quadratique. Avant de pouvoir trouver la fonction inverse, vous devez réécrire l`équation dans le format standard. Le format standard pour une fonction quadratique est $F\left(X\right)=\mathrm{une}(X-h{)}^{}$. Les termes numériques a, h et k seront évalués si vous transformez l`équation en calculant le carré.

Notez que cette forme standard consiste en un terme quadratique parfait, $(X-h{)}^{}$, qui est ensuite modifié par les deux autres éléments a et k. Pour arriver à cette forme quadratique parfaite, vous devrez créer certaines conditions dans votre équation quadratique.

3. Repensez à la forme d`une fonction quadratique parfaite. Rappelons qu`une fonction quadratique qui est un carré parfait résulte de deux binômes de $(X+b)(X+b)$, ou $(X+b{)}^{}$. Si vous faites cette multiplication, vous obtenez $X^{}$. Ainsi le premier terme du quadratique est le premier terme du binôme, au carré, et le dernier terme du quadratique est le carré du deuxième terme du binôme. Le terme moyen est constitué de deux fois le produit des deux termes, dans ce cas $2*X*b$.

Pour compléter le carré, tricoter en sens inverse. Tu commences par $X^{}$ et un deuxième terme x. A partir du coefficient de ce terme, que vous pouvez définir comme « 2b », vous devez obtenir $b^{}$ voir pour trouver. Cela nécessite une combinaison de division par deux puis de quadrature de ce résultat.

4. Assurez-vous que le coefficient de $$X2{style d`affichage x^{2}} 1 est. Vous souvenez-vous de la forme originale de la fonction quadratique $\mathrm{une}{X}^{}$. Si le premier coefficient est autre que 1, alors vous devez diviser tous les termes par cette valeur pour obtenir a=1.

Prenons, par exemple, la fonction quadratique $F\left(X\right)=2X^{}$. Vous pouvez simplifier cela en divisant tous les termes par 2 pour obtenir la fonction résultante $F\left(X\right)=2(X^{}$ pour obtenir. Le coefficient 2 reste en dehors des parenthèses et fera partie de votre solution finale.

Si tous les termes ne sont pas des multiples de a, vous obtenez des coefficients fractionnaires. Par exemple : la fonction $F\left(X\right)=3X^{}$ sera simplifié pour $F\left(X\right)=3(X^{}$. Travaillez soigneusement les fractions.

5. Trouver la moitié du coefficient du milieu et le carré. Vous avez déjà les deux premiers termes de la formule quadratique. Ce sont le terme $X^{}$ et le coefficient qui représente le terme x. En prenant ce coefficient comme valeur, vous pouvez ajouter ou soustraire le nombre nécessaire pour faire un carré parfait. Rappelons ci-dessus que le troisième terme requis du carré est ce deuxième coefficient divisé par deux, puis au carré.

Par exemple, si les deux premiers termes de votre fonction quadratique $X^{}$ vous trouvez le troisième terme nécessaire en divisant 3 par 2 (ou 3/2), puis en le carré, pour obtenir 9/4. Le quadratique $X^{}$ est un carré parfait.

Autre exemple : supposons que les deux premiers termes $X^{}$ sont. La moitié du moyen terme est -2, puis vous le carré pour obtenir 4. Le carré parfait résultant est $X^{}$.

Supposons que vous ayez la fonction $F\left(X\right)=X^{}$. Comme mentionné ci-dessus, vous utilisez les deux premiers termes pour compléter le carré. En utilisant le terme moyen de -4x, vous générez un troisième terme +4. Ajouter 4 et soustraire 4 de l`équation, sous la forme $F\left(X\right)=(X^{}$. Les parenthèses ne sont placées que pour définir l`équation quadratique que vous faites. Notez le +4 à l`intérieur des crochets et le -4 à l`extérieur. Simplifier les nombres au résultat $F\left(X\right)=(X^{}$.

sept. Factoriser l`équation quadratique. Le polynôme entre parenthèses est une équation quadratique, que vous pouvez réécrire sous la forme $(X+b{)}^{}$. Dans l`exemple de l`étape précédente ($F\left(X\right)=(X^{}$) vous factorisez le facteur quadratique dans $(X-2{)}^{}$. Copiez le reste de l`équation pour que votre solution $F\left(X\right)=(X-2{)}^{}$ devient. C`est la même fonction que votre équation quadratique d`origine ($F\left(X\right)=X^{}$), réécrit sous la forme standard $F\left(X\right)=\mathrm{une}(X-h{)}^{}$.

Continuer à travailler avec la fonction de prévisualisation $F\left(X\right)=(X-2{)}^{}$. Comme il s`agit d`un format standard, vous pouvez déterminer le sommet sous la forme x=2, y=5. Donc, pour éviter la symétrie, vous ne travaillez qu`avec le côté droit du graphique et définissez le domaine si toutes les valeurs x≥2. L`insertion de la valeur x=2 dans la fonction renvoie y=5. Vous pouvez voir que les valeurs de y augmenteront à mesure que x augmente. Par conséquent, l`étendue de cette équation est y≥5.

Continuer à travailler avec la fonction $F\left(X\right)=(X-2{)}^{}$. Insérez x à la place de f(x) et insérez y (ou f(x), si vous préférez) à la place de x. Cela donne comme nouvelle fonction $X=(\mathrm{oui}-2{)}^{}$.

dix. Réécrire l`équation inverse en fonction de y. En utilisant une combinaison d`étapes algébriques, en vous assurant d`effectuer la même opération uniformément des deux côtés de l`équation, isolez la variable y. Pour la comparaison de travail $X=(\mathrm{oui}-2{)}^{}$ cette révision ressemble à ceci :

$X=(\mathrm{oui}-2{)}^{}$ (point de départ initial)

$X-5=(\mathrm{oui}-2{)}^{}$ (soustrayez 5 des deux côtés)

±$$ (racine carrée des deux côtés ; rappelez-vous que la racine carrée donne des réponses possibles positives et négatives)

±$$ (ajouter 2 des deux côtés)

Voir la solution de l`exemple d`équation ±$$. Comme la fonction racine carrée n`est pas définie pour les valeurs négatives, le terme . doit être $$ toujours être positif. Par conséquent, les valeurs autorisées de x (le domaine) doivent être x≥5. Avec cela comme domaine, les valeurs résultantes de y (la plage) sont soit toutes les valeurs y≥2 (si vous prenez la solution positive de la racine carrée), soit y≤2 (si vous choisissez la solution négative de la racine carrée). Rappelez-vous que vous avez initialement défini le domaine comme x≥2, afin de trouver la fonction inverse. Par conséquent, la solution correcte pour la fonction inverse est l`option positive.

A titre d`exemple, choisissez la valeur x=3 à inclure dans l`équation d`origine $F\left(X\right)=X^{}$ procéder. Cela donne le résultat y=6.

Ensuite, vous traitez y=6 dans la fonction inverse $$. Cela renvoie y=3, qui est le nombre avec lequel vous avez commencé. Vous pouvez conclure que votre fonction inverse est correcte.

Méthode 3 sur 3: Utilisation de la formule carrée

2. Commencer par une équation quadratique pour trouver l`inverse. Votre équation quadratique doit commencer dans le format $F\left(X\right)=\mathrm{une}{X}^{}$. Suivez les étapes algébriques nécessaires pour obtenir votre équation sous cette forme.

Pour cette section de cet article, vous utiliserez l`exemple d`équation $F\left(X\right)=X^{}$.

Basé sur l`équation du travail $F\left(X\right)=X^{}$, est-ce que cela donne le résultat $X={\mathrm{oui}}^{}$.

Pour l`exemple d`équation, pour obtenir le côté gauche égal à zéro, vous devez soustraire x des deux côtés de l`équation. Cela donne le résultat $0={\mathrm{oui}}^{}$.

6. Redéfinir les variables pour s`adapter à la formule carrée. Cette étape est un peu délicate. Sachez que la formule carrée résout pour x, dans l`équation $0=\mathrm{une}{X}^{}$. Donc, pour l`équation que vous avez maintenant, $0={\mathrm{oui}}^{}$, pour vous conformer à cette classification, vous devez redéfinir les termes comme suit :

Laisser ${\mathrm{oui}}^{}$. Donc, x=1

Laisser $2\mathrm{oui}=bX$. Donc, b=2

Laisser $(-3-X)=c$. Donc, c=(-3-x)

$F^{}$

$F^{}$

9. Déterminer le domaine et l`étendue de la fonction inverse. Notez que pour définir la racine carrée, le domaine doit être x≥-4. Rappelons que le domaine de la fonction d`origine était x≤-1 et la plage était y≥-4. Pour choisir la fonction inverse qui correspond, vous avez besoin de la deuxième solution, $F^{}$ choisir comme fonction inverse correcte.

Assumer la fonction d`origine $F\left(X\right)=X^{}$, choisissez votre x=-2. Cela renvoie y=-3. Remplacez maintenant la valeur de x=-3 dans la fonction inverse, $F^{}$. Cela renvoie -2, qui est bien la valeur avec laquelle vous avez commencé. Donc ta définition de la fonction inverse est correcte.

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