Simplifier les fractions empilées : 9 étapes (avec photos)

Teneur

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- Méthode 1 sur 2: Simplification des fractions empilées avec la multiplication inverse
- Méthode 2 sur 2: Simplification des fractions empilées avec des termes variables
Des astuces

Les fractions empilées sont celles dans lesquelles le numérateur, le dénominateur ou les deux contiennent des fractions elles-mêmes. Pour cette raison, vous pouvez également appeler cela « fractions en fractions ». La simplification des fractions empilées est un processus qui peut aller de facile à difficile en fonction du nombre de termes présents dans le numérateur et le dénominateur, si l`un des termes est variable et, le cas échéant, la complexité des termes variables. Voir l`étape 1 ci-dessous pour commencer!

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Méthode 1 sur 2: Simplification des fractions empilées avec la multiplication inverse

$Simplifier les fractions empilées$

1. Si nécessaire, simplifiez le numérateur et le dénominateur à quelques fractions. Les fractions empilées ne sont pas nécessairement difficiles à résoudre. En fait, les fractions empilées dans lesquelles le numérateur et le dénominateur contiennent tous deux une seule fraction sont généralement assez faciles à résoudre. Ainsi, si le numérateur ou le dénominateur de votre fraction empilée (ou les deux) contient plusieurs fractions ou fractions et nombres entiers, simplifiez comme vous le souhaitez pour obtenir une seule fraction à la fois dans le numérateur et le dénominateur. Cela peut nécessiter le plus petit commun multiple (LCM) trouver deux fractions ou plus.

Supposons que nous voulions simplifier la fraction complexe (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Nous pouvons d`abord simplifier à la fois le numérateur et le dénominateur de notre fraction complexe en fractions simples.

Pour simplifier le numérateur, prenons un LCF de 15, en multipliant 3/5 par 3/3. Notre compteur devient 9/15 + 2/15, ce qui équivaut à 11/15.
Pour simplifier le dénominateur, prenons un lcm de 70, en multipliant 5/7 par 10/10 et 3/10 par 7/7. Notre dénominateur sera 50/70 - 21/70, ce qui équivaut à 29/70.
Donc, notre nouvelle fraction empilée est (11/15)/(29/70).

$Simplifier les fractions empilées$

2. Retournez le dénominateur et trouvez l`inverse. Par définition, Partager d`un numéro à un autre comme le multiplier le premier nombre par l`inverse du deuxième nombre. Maintenant que nous avons obtenu une fraction empilée avec une seule fraction à la fois au numérateur et au dénominateur, nous pouvons utiliser cette propriété de division pour simplifier notre fraction empilée! Trouvez d`abord l`inverse du dénominateur de la fraction empilée. Pour ce faire, « inversant » la fraction - le numérateur remplace le dénominateur et vice versa.

Dans notre exemple, le dénominateur de la fraction empilée (11/15)/(29/70) est la fraction 29/70. Pour trouver l`inverse, nous l`inversons et la fraction devient 70/29.

Notez que, si la fraction empilée a un nombre entier au dénominateur, vous pouvez la traiter comme une fraction et toujours trouver son inverse. Par exemple, supposons que la fraction empilée était (11/15)/(29), alors nous pouvons définir le dénominateur comme 29/1, avec l`inverse 1/29.

$Image intitulée Simplifier les fractions complexes, étape 3$

3. Multiplier le numérateur de la fraction empilée par l`inverse du dénominateur. Maintenant que vous avez obtenu l`inverse du dénominateur de votre fraction empilée, multipliez-le par le numérateur pour obtenir une seule fraction simple! Rappelez-vous, pour multiplier deux fractions, nous ne multiplions pas transversalement - le numérateur de la nouvelle fraction est le produit du numérateur des deux anciennes, de même que le dénominateur.

Dans notre exemple, nous multiplions 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 et 15 × 29 = 435. Ainsi est notre nouvelle fraction simple 770/435.

$Image intitulée Simplifier les fractions complexes, étape 4$

4. Simplifiez la nouvelle fraction en trouvant le plus grand diviseur commun. Nous avons maintenant une fraction simple et unique, il ne reste donc plus qu`à la représenter dans les termes les plus simples possibles. Particulier plus grand diviseur commun (pgcd) du numérateur et du dénominateur et diviser les deux par ce nombre pour simplifier.

Un diviseur commun de 770 et 435 est 5. Donc, si nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre fraction par 5, nous obtenons 154/87. 154 et 87 n`ont pas de facteurs communs, nous savons donc que nous avons trouvé la réponse finale!

Méthode 2 sur 2: Simplification des fractions empilées avec des termes variables

$Simplifier les fractions empilées$

1. Dans la mesure du possible, utilisez la méthode de multiplication inverse décrite ci-dessus. Pour être clair, à peu près n`importe quelle fraction empilée peut être simplifiée en réduisant le numérateur et le dénominateur à des fractions simples et en multipliant le numérateur par l`inverse du dénominateur. Les fractions empilées de variables ne font pas exception, mais plus les expressions de variables dans la fraction empilée sont compliquées, plus il est difficile et long d`effectuer une multiplication inverse. Pour les fractions empilées « simples » avec des variables, la multiplication par l`inverse est un bon choix, mais les fractions empilées avec plusieurs termes variables dans le numérateur et le dénominateur peuvent être plus faciles à simplifier en utilisant la méthode alternative décrite ci-dessous.

Par exemple : (1/x)/(x/6) est facile à simplifier avec la multiplication inverse. 1/x × 6/x = `6/x. Il n`est pas nécessaire d`utiliser une méthode alternative.
Cependant, la fraction (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) est plus difficile à simplifier avec la multiplication inverse. Réduire le numérateur et le dénominateur de cette fraction empilée à des fractions simples, multiplier inversement et réduire le résultat aux termes les plus simples, est probablement un processus compliqué. Dans ce cas, la méthode alternative ci-dessous peut être plus simple.

$Simplifier les fractions empilées$

2. Si la multiplication inverse n`est pas pratique, commencez par trouver le plus petit diviseur commun des termes de division dans la fraction empilée. La première étape de cette méthode alternative de simplification consiste à trouver le kgd de tous les termes fractionnaires de la fraction empilée - à la fois au numérateur et au dénominateur. Si un ou plusieurs termes de fraction ont des variables dans leurs dénominateurs, le kgd est simplement le produit de leurs dénominateurs.

C`est plus facile à comprendre avec un exemple. Essayons de simplifier la fraction empilée que nous avons mentionnée ci-dessus, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Les termes de fraction dans cette fraction composée sont (1)/(x+3) et (1)/(x-5). Le dénominateur commun de ces deux fractions est le produit de leurs dénominateurs : (x+3)(x-5).

$Image intitulée Simplifier les fractions complexes Étape 7$

3. Multipliez le numérateur de la fraction empilée par le kgd . Ensuite, nous devons multiplier les termes de notre fraction empilée par le kgd de ses termes de fraction. En d`autres termes, nous multiplierons la fraction empilée entière par (kgd)/(kgd). Nous pouvons le faire simplement parce que (kgd)/(kgd) est égal à 1. Multipliez d`abord le numérateur par lui-même.

Dans notre exemple, nous multiplions la fraction empilée (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), par ((x+ 3 )(x-5))/((x+3)(x-5)). Nous devrons multiplier par le numérateur et le dénominateur de la fraction empilée, en multipliant chaque terme par (x+3)(x-5).

Commençons par multiplier le numérateur : (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)

= (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5))

= (x-5) + (x(x - 2x - 15)) - (10(x - 2x - 15))

= (x-5) + (x - 2x - 15x) - (10x - 20x - 150)

= (x-5) + x - 12x + 5x + 150

= x - 12x + 6x + 145

$Simplifier les fractions empilées$

4. Multipliez le dénominateur de la fraction empilée par le kgd comme vous l`avez fait avec le numérateur. Multipliez la fraction empilée par le kgd que vous avez trouvé en allant au dénominateur. Multiplier chaque terme par le kgd.

Le dénominateur de notre fraction empilée, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), est x +4 +(( 1)/(x-5)). Nous allons multiplier cela par le kgd que nous avons trouvé, (x+3)(x-5).

(x +4 +((1)/(x - 5))) × (x+3)(x-5)

= x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5).

= x(x - 2x - 15) + 4(x - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)

= x - 2x - 15x + 4x - 8x - 60 + (x+3)

= x + 2x - 23x - 60 + (x+3)

= x + 2x - 22x - 57

$Simplifier les fractions empilées$

5. Formez une nouvelle fraction simplifiée à partir du numérateur et du dénominateur que vous venez de trouver. Après avoir multiplié votre fraction par votre expression (kgd)/(kgd) et l`avoir simplifiée en barrant des termes similaires, vous devriez vous retrouver avec une fraction simple qui ne contient pas de termes de fraction. Comme vous l`avez peut-être remarqué, les dénominateurs de ces fractions s`annulent (en multipliant les fractions de la fraction empilée d`origine par le kgd), laissant des termes variables et des nombres entiers dans le numérateur et le dénominateur de votre réponse, mais pas de fractions.

En utilisant le numérateur et le dénominateur que nous avons trouvés ci-dessus, nous pouvons construire une fraction qui est égale à notre fraction empilée initiale, mais ne contient aucune fraction. Le numérateur que nous avons obtenu était x - 12x + 6x + 145 et le dénominateur était x + 2x - 22x - 57, donc la nouvelle fraction est : (x - 12x + 6x + 145)/(x + 2x - 22x - 57)

Des astuces

Montrez chaque étape de votre travail. Les fractions peuvent être déroutantes si vous voulez aller trop vite ou essayer de les sortir de votre tête.
Recherchez des exemples de fractions empilées en ligne ou dans votre manuel. Suivez chaque étape jusqu`à ce que vous la maîtrisiez.