Calcul de factorielles

Teneur

Pas
Des astuces

La factorielle est couramment utilisée pour calculer la probabilité et les permutations, ou la séquence possible d`événements. La factorielle est indiquée par un point d`exclamation ( $!$ ${style d`affichage !}$ ), ce qui signifie que vous multipliez tous les nombres par ordre décroissant à partir du nombre factoriel. Une fois que vous comprenez ce qu`est une factorielle, il est facile de calculer, surtout à l`aide d`une calculatrice scientifique.

Pas

Méthode 1 sur 3: Calcul de la factorielle d`un nombre

1. Déterminez le nombre pour lequel vous calculez la factorielle. Une factorielle est indiquée par un entier positif et un point d`exclamation.

Supposons que vous vouliez calculer la factorielle de cinq, vous écrivez cela sous la forme $5!$ ${style d`affichage 5 !}$ .

2. Notez la suite de nombres que vous allez multiplier. Une factorielle multiplie simplement les nombres naturels par ordre décroissant à partir du nombre de la factorielle, jusqu`à 1. Comme formule :

m! = m (m - 1) ?? ?? ?? 2 ?? 1

${displaystyle n!=n(n-1)cdot cdot cdot 2cdot 1}$ , par lequel

m

$m$ est égal à un entier positif.

Par exemple, si vous

5!

${style d`affichage 5 !}$ Si vous voulez calculer, vous faites d`abord

5 (5 - 1) (5 - 2) (5 - 3) (5 - 4)

${style d`affichage 5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)}$ ou, plus simplement :

5 ?? 4 ?? 3 ?? 2 ?? 1

${displaystyle 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}$ .

3. Multipliez les nombres ensemble. Vous pouvez calculer rapidement la factorielle avec une calculatrice scientifique, car elle a un

X!

${style d`affichage x !}$ bouton. Si vous souhaitez calculer cela à la main, vous pouvez simplifier cela en recherchant d`abord les paires de facteurs qui se multiplient ensemble égalent 10. Bien sûr, vous pouvez ignorer le 1, car un nombre multiplié par 1 est égal au nombre lui-même.

Par exemple : si vous

5! = 5 ?? 4 ?? 3 ?? 2 ?? 1

${displaystyle 5!=5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}$ calcule, puis ignore le 1 et calcule

5 ?? 2 = dix

${displaystyle 5cdot 2=10}$ . Tout ce qui reste maintenant est

4 ?? 3 = 12

${displaystyle 4cdot 3=12}$ . Parce que

dix ?? 12 = 120

${displaystyle 10cdot 12=120}$ , sais-tu

5! = 120

${style d`affichage 5 !=120}$ .

Méthode 2 sur 3: Simplifier une factorielle

1. Déterminer quelle expression simplifier. C`est souvent une fraction.

Supposons, par exemple, que vous $sept! 5! ?? 4!$ ${displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}}$ devrait simplifier.

2. Écrivez les facteurs de chaque factorielle. Parce que la faculté

m!

${style d`affichage n!}$ est un facteur d`une factorielle plus grande, afin de simplifier cela, vous devez regarder les facteurs que vous pouvez rayer. C`est facile si vous écrivez chaque terme.

Par exemple : si vous

sept! 5! ?? 4!

${displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}}$ Si vous voulez simplifier, réécrivez ceci comme

1 ?? 2 ?? 3 ?? 4 ?? 5 ?? 6 ?? sept (1 ?? 2 ?? 3 ?? 4 ?? 5) ?? (1 ?? 2 ?? 3 ?? 4)

${displaystyle {frac {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5)cdot (1cdot 2 cdot 3cdot 4)}}}$

3. Élimine tous les termes qui apparaissent à la fois au numérateur et au dénominateur. Cela simplifiera les nombres restants à multiplier.

Par exemple : parce que

5!

${style d`affichage 5 !}$ est un facteur de

sept!

${style d`affichage 7 !}$ , peut tu

5!

${style d`affichage 5 !}$ éliminer du numérateur et du dénominateur :

1 ?? 2 ?? 3 ?? 4 ?? 5 ?? 6 ?? sept (1 ?? 2 ?? 3 ?? 4 ?? 5) ?? (1 ?? 2 ?? 3 ?? 4) = 6 ?? sept (1 ?? 2 ?? 3 ?? 4)

${displaystyle {frac {{annuler {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5}}cdot 6cdot 7}{({annuler {1cdot 2cdot 3cdot 4 cdot 5}})cdot (1cdot 2cdot 3cdot 4)}}={frac {6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4)}}}$

4. Compléter les calculs. Simplifier là où c`est possible. Cela vous donnera l`expression finale simplifiée.

Par exemple:

6 ?? sept (1 ?? 2 ?? 3 ?? 4)

${displaystyle {frac {6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4)}}}$

= \frac{42}{24}

${displaystyle ={frac {42}{24}}}$

= \frac{sept}{4}

${displaystyle ={frac {7}{4}}}$
Alors,

sept! 5! ?? 4!

${displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}}$ est simplifié

\frac{sept}{4}

${style d`affichage {frac {7}{4}}}$ .

Méthode 3 sur 3: Faire des exercices simples

1. Regardez l`expression 8!.

Si vous avez une calculatrice scientifique, appuyez sur la touche $8$ ${style d`affichage 8}$ , suivi de la clé $X!$ ${style d`affichage x !}$ .
Si calculé à la main, notez les facteurs à multiplier ensemble :
$8 ?? sept ?? 6 ?? 5 ?? 4 ?? 3 ?? 2 ?? 1$ ${displaystyle 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}$
Ignorer le 1 :
$8 ?? sept ?? 6 ?? 5 ?? 4 ?? 3 ?? 2 ?? 1$ ${displaystyle 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2{cancel {cdot 1}}}$
calculer $5 ?? 2$ ${displaystyle 5cdot 2}$ :
$(5 ?? 2) 8 ?? sept ?? 6 ?? 4 ?? 3$ ${style d`affichage (5cdot 2)8cdot 7cdot 6cdot 4cdot 3}$
$= (dix) 8 ?? sept ?? 6 ?? 4 ?? 3$ ${displaystyle =(10)8cdot 7cdot 6cdot 4cdot 3}$
Regroupez tous les autres nombres qui peuvent être facilement multipliés en premier, puis multipliez tous les produits ensemble :
$(dix) (4 ?? 3) (sept ?? 6) (8)$ ${style d`affichage (10)(4cdot 3)(7cdot 6)(8)}$
$= (dix) (12) (42) (8)$ ${style d`affichage =(10)(12)(42)(8)}$
$= (120) (336)$ ${style d`affichage =(120)(336)}$
$= 40320$ ${style d`affichage =40320}$
alors, $8! = 40, 320$ ${style d`affichage 8 !=40 320}$ .

2. Simplifiez l`expression :

12! 6! 3!

${displaystyle {frac {12!}{6!3!}}}$ .

Écrivez les facteurs de chaque factorielle :

1 ?? 2 ?? 3 ?? 4 ?? 5 ?? 6 ?? sept ?? 8 ?? 9 ?? dix ?? 11 ?? 12 (1 ?? 2 ?? 3 ?? 4 ?? 5 ?? 6) (1 ?? 2 ?? 3)

${displaystyle {frac {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{(1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6)(1cdot 2cdot 3)}}}$

Éliminez les termes qui apparaissent à la fois au numérateur et au dénominateur :

1 ?? 2 ?? 3 ?? 4 ?? 5 ?? 6 ?? sept ?? 8 ?? 9 ?? dix ?? 11 ?? 12 (1 ?? 2 ?? 3 ?? 4 ?? 5 ?? 6) (1 ?? 2 ?? 3) = sept ?? 8 ?? 9 ?? dix ?? 11 ?? 12 1 ?? 2 ?? 3

${displaystyle {frac {{annuler {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot }}7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{( {cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6}})(1cdot 2cdot 3)}}={frac {7cdot 8cdot 9cdot 10 cdot 11cdot 12}{1cdot 2cdot 3}}}$

Complétez les calculs :

sept ?? 8 ?? 9 ?? dix ?? 11 ?? 12 1 ?? 2 ?? 3

${displaystyle {frac {7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{1cdot 2cdot 3}}}$

= 665, 280 6

${displaystyle ={frac {665,280}{6}}}$

= 110, 880

${style d`affichage = 110.880}$
Alors l`expression

12! 6! 3!

${displaystyle {frac {12!}{6!3!}}}$ est simplifié à

110, 880

${style d`affichage 110.880}$ .

3. Essayez la tâche suivante. Vous avez six tableaux que vous aimeriez accrocher côte à côte au mur. De combien de façons pouvez-vous accrocher les peintures?

Puisque vous recherchez le nombre de façons différentes d`ordonner une séquence, vous pouvez résoudre ce problème en trouvant la factorielle du nombre d`objets dans la séquence.

Le nombre de façons possibles d`accrocher les six tableaux d`affilée peut être résolu en

6!

${style d`affichage 6 !}$ calculer.

Sur une calculatrice scientifique, appuyez sur la touche

6

$6$ , suivi de la clé

X!

${style d`affichage x !}$ .

Si vous résolvez cela à la main, notez les facteurs à multiplier :

6 ?? 5 ?? 4 ?? 3 ?? 2 ?? 1

${displaystyle 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}$

Ignorer le 1 :

6 ?? 5 ?? 4 ?? 3 ?? 2 ?? 1

${displaystyle 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2{annuler {cdot 1}}}$

calculer

5 ?? 2

${style d`affichage 5cdot 2}$ :

(5 ?? 2) 6 ?? 4 ?? 3

${style d`affichage (5cdot 2)6cdot 4cdot 3}$

= (dix) 6 ?? 4 ?? 3

${displaystyle =(10)6cdot 4cdot 3}$

Tout d`abord, regroupez les autres nombres faciles à multiplier, puis multipliez tous les produits ensemble :

(dix) (4 ?? 3) (6)

${style d`affichage (10)(4cdot 3)(6)}$

= (dix) (12) (6)

${style d`affichage =(10)(12)(6)}$

= (120) (6)

${style d`affichage =(120)(6)}$

= 720

${style d`affichage =720}$
Donc, si vous accrochez six tableaux d`affilée les uns à côté des autres, vous pouvez le faire de 720 manières différentes.

4. Essayez la tâche suivante. Tu as six tableaux. Vous voulez en accrocher trois. De combien de manières différentes pouvez-vous organiser trois des peintures?

Puisque vous avez six tableaux différents, mais que vous n`en choisissez que trois, il vous suffit de multiplier les trois premiers nombres de la séquence pour calculer la factorielle de six. Vous pouvez également utiliser la formule

m! (m - r)!

${displaystyle {frac {n!}{(n-r)!}}}$ utiliser, où

m

$m$ est égal au nombre d`objets que vous choisissez, et

r

$r$ est égal au nombre d`objets que vous utilisez. Cette formule ne fonctionne que s`il n`y a pas d`itérations (un objet ne peut pas être choisi plus d`une fois), et l`ordre n`a pas d`importance (parce que vous voulez contrôler le nombre de façons différentes d`ordonner les choses).

Le nombre de façons possibles d`organiser et d`accrocher trois des six tableaux d`affilée peut être trouvé par

6! (6 - 3)!

${displaystyle {frac {6!}{(6-3)!}}}$ résoudre.

Soustrayez les nombres au dénominateur :

6! (6 - 3)!

${displaystyle {frac {6!}{(6-3)!}}}$

= 6! 3!

${displaystyle ={frac {6!}{3!}}}$

Écrivez les facteurs de chaque factorielle :

6 ?? 5 ?? 4 ?? 3 ?? 2 ?? 1 3 ?? 2 ?? 1

${displaystyle {frac {6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}{3cdot 2cdot 1}}}$

Éliminez les termes qui apparaissent à la fois au numérateur et au dénominateur :

6 ?? 5 ?? 4 ?? 3 ?? 2 ?? 1 3 ?? 2 ?? 1

${displaystyle {frac {6cdot 5cdot 4cdot {cancel {3cdot 2cdot 1}}}{cancel {3cdot 2cdot 1}}}}$

Complétez les calculs :

6 ?? 5 ?? 4 = 120

${displaystyle 6cdot 5cdot 4=120}$
Ainsi, trois tableaux sur un total de six peuvent être accrochés à la suite de 120 manières différentes.

Des astuces

1! =1, selon la définition
Bien que cela semble quelque peu illogique, vous pouvez supposer que 0! = 1, sauf indication contraire
La faculté est utilisée pour résoudre des problèmes combinatoires, alors pratiquez cette compétence
N`oubliez pas de vérifier votre travail