Calculer les racines cubiques à la main (avec des images)

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À l`aide d`une calculatrice, calculer la racine cubique d`un nombre en appuyant simplement sur quelques touches. Mais peut-être que vous n`avez pas de calculatrice ou que vous voulez impressionner vos amis avec votre capacité à calculer une racine cubique à la main. Il existe une méthode qui a l`air un peu dure à première vue, mais qui fonctionne très facilement avec un peu de pratique. Il est utile d`avoir des connaissances préalables dans le domaine de l`arithmétique et du calcul des nombres cubiques.

Pas

Partie 1 sur 3: Élaboration d`un exemple de devoir

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 1

1. Préparer le devoir. Résoudre la racine cubique d`un nombre ressemblera à résoudre une division longue, avec quelques différences ici et là. La première étape consiste à écrire correctement le problème.

Écrivez le nombre que vous voulez trouver la racine cubique de. Écrivez les nombres en groupes de trois, où la virgule est le point de départ. Dans cet exemple, vous allez trouver la racine cubique de 10. Écrivez-le comme 10 000 000. Les zéros sont nécessaires pour l`exactitude de la réponse.
Tracer un radical du cube sur le nombre. Cela sert le même but que la longue ligne de division. La seule différence est la forme du symbole.
Placez une virgule au-dessus de la ligne, directement au-dessus de la virgule dans le nombre d`origine.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 2

2. Connaître les cubes des unités. Vous l`utiliserez dans vos calculs. Il s`agit des troisièmes pouvoirs suivants :

13 = 1 * 1 * 1 = 1

$1^{3}=1*1*1=1$

23 = 2 * 2 * 2 = 8

$2^{3}=2*2*2=8$

33 = 3 * 3 * 3 = 27

$3^{3}=3*3*3=27$

43 = 4 * 4 * 4 = 64

$4^{3}=4*4*4=64$

53 = 5 * 5 * 5 = 125

$5^{3}=5*5*5=125$

63 = 6 * 6 * 6 = 216

$6^{3}=6*6*6=216$

sept 3 = sept * sept * sept = 343

$7^{3}=7*7*7=343$

83 = 8 * 8 * 8 = 512

$8^{3}=8*8*8=512$

93 = 9 * 9 * 9 = 729

$9^{3}=9*9*9=729$

dix 3 = dix * dix * dix = 1000

$10^{3}=10*10*10=1000$

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 3

3. Trouvez le premier chiffre de votre réponse. Sélectionnez un nombre qui, au cube, donne le plus grand résultat possible qui est inférieur au premier ensemble de trois nombres.

Dans cet exemple, le premier ensemble de trois nombres multipliés ensemble est égal à 10. Déterminer le plus grand cube inférieur à 10. C`est 8, et sa racine cubique est 2.

Écrivez le chiffre 2 au-dessus du signe radical, au-dessus du chiffre 10. Notez la valeur de

23

$2^{3}$ , égal à 8, en dessous du nombre 10; tracer une ligne et soustraire les nombres de la même manière que dans la division longue. Le résultat est 2.

Après cette somme négative, vous avez le premier chiffre de votre réponse. Vous devrez vérifier si ce numéro est assez exact. Dans la plupart des cas, ce ne sera pas le cas. Vous pouvez le vérifier en augmentant le nombre au cube et en voyant s`il est assez proche du résultat souhaité. Dans ce cas

23

$2^{3}$ est égal à 8, et ce n`est pas vraiment proche de 10, vous devez donc passer à autre chose.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 4

4. Faire la queue pour le chiffre suivant. Écrivez le prochain groupe de trois nombres dans le reste et tracez une courte ligne verticale à gauche du nombre résultant. Ce sera le nombre que nous utiliserons pour déterminer le chiffre suivant dans votre solution de racine cubique. Dans cet exemple, ce sera 2000, qui est créé à partir du reste 2 de la somme négative précédente, avec le groupe de trois zéros que vous avez retiré.

À gauche de la ligne verticale, écrivez la solution du prochain diviseur, comme la somme de trois nombres séparés. Indiquez les espaces vides pour ces numéros en soulignant trois espaces vides avec des signes plus en dessous d`eux.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 5

5. Trouver le début du prochain diviseur. Pour la première partie du diviseur, écris trois cents fois le carré de tout ce qui est au-dessus du radical. Dans ce cas, c`est 2 ; 2^2 vaut 4 et 4*300=1200. Alors écris 1200 dans le premier espace vide. Le diviseur pour cette étape de la solution va être 1200, plus quelque chose d`autre que vous calculerez dans une minute.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 6

6. Trouvez le prochain nombre dans votre racine cubique. Trouvez le chiffre suivant de votre solution en sélectionnant ce que vous pouvez multiplier par le diviseur (1200 et quelque chose), puis soustrayez du reste de 2000. Cela ne peut être que 1, car 2 fois 1200 égale 2400, ce qui est supérieur à 2000. Écrivez le nombre 1 dans l`espace suivant au-dessus du radical.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 7

sept. Trouver le reste du diviseur. Le diviseur dans cette étape de la solution se compose de trois parties. La première partie est le 1200 que vous avez déjà. Vous devrez maintenant ajouter deux termes supplémentaires pour compléter le diviseur.

Calculez maintenant 3 fois 10 fois chacun des deux nombres qui existent dans votre solution au dessus du radical. Pour ce problème simple, cela signifie 3*10*2*1, ce qui équivaut à 60. Ajoutez ceci aux 1200 que vous aviez déjà et vous obtenez 1260.

Enfin, ajoutez le carré du dernier chiffre. Dans cet exemple, c`est 1 ; et 1^2 est toujours 1. Le diviseur total est donc 1200+60+1, soit 1261. Notez ceci à gauche de la ligne verticale.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 8

8. Multiplier et soustraire. Arrondissez cette partie de la solution en multipliant le dernier chiffre de votre solution - dans ce cas le nombre 1 - par le diviseur que vous venez de calculer (1261). 1*1261 = 1261. Ecrivez ceci en dessous de 2000 et soustrayez 1261 pour obtenir 739.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 9

9. Décidez que vous devriez aller plus loin pour une réponse plus précise. Après avoir terminé la somme négative de chaque étape, vous devez vérifier si votre réponse est suffisamment exacte. Pour la racine cubique de 10 : après la première somme moins, la racine cubique n`était que de 2, et ce n`est pas vraiment exact. Maintenant, après le deuxième tour, la solution est 2.1.

Vous pouvez vérifier la précision de ce résultat à l`aide du cube : 2.1*2.1*2.1. Le résultat est 9 261.

Si vous pensez que le résultat est assez précis, vous pouvez arrêter. Si vous voulez une réponse plus précise, vous devez passer par un autre tour.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 10

dix. Déterminer le croupier pour le prochain tour. Dans ce cas, pour plus de pratique et une réponse plus précise, répétez les étapes pour un autre tour, comme suit :

Prendre le prochain groupe de trois nombres vers le bas. Dans ce cas ce sont trois zéros, qui viennent après le reste 739 et donc 739.000 formes.

Commencer le diviseur à 300 fois le carré du nombre actuellement au-dessus du radical. C`est

300 * 21 2

$300*21^{2}$ , et donc 132.300.

Sélectionnez le chiffre suivant de votre solution afin de pouvoir le multiplier par 132.300 et moins du 739.000 de votre reste. Un bon choix serait 5, car 5*132.300=661.500. Écrivez le nombre 5 dans l`espace suivant au-dessus de la ligne radicale.

Trouvez 3 fois le nombre précédent au-dessus de la ligne radicale, 21, fois le dernier chiffre que vous venez d`écrire, 5, fois 10. Cela donne

3 * 21 * 5 * dix = 3150

$3*21*5*10=3150$ .

Enfin, tu carré le dernier chiffre. C`est

52 = 25.

$5^{2}=25$

Additionnez les termes de votre diviseur et vous obtenez 132.300+3150+25=135.475.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 11

11. Multiplier le diviseur par le résultat. Après avoir calculé le diviseur au tour suivant et étendu votre solution d`un chiffre supplémentaire, procédez comme suit :

Multipliez le diviseur par le dernier chiffre de votre solution. 135.475*5=677.375.

soustraire. 739.000-677.375=61.625.

Considérez si la solution 2.15 est assez exacte. Calculez son cube et vous obtenez

2, 15 * 2, 15 * 2, 15 = 9, 94

$2.15*2.15*2.15=9.94$ .

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 12

12. Écrivez votre réponse finale. Le résultat au-dessus du radical est la racine cubique, avec une précision de trois chiffres significatifs. Dans cet exemple, la racine cubique de 10 est égale à 2,15. Vérifiez cela en calculant 2,15^3=9,94 qui peut être arrondi à 10. Si vous avez besoin d`une réponse plus précise, continuez jusqu`à ce que vous soyez satisfait.

Partie 2 sur 3: Trouver la racine cubique par estimation répétée

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 13

1. Utilisez des nombres cubiques pour définir les limites supérieure et inférieure. Lorsqu`on vous demande une racine cubique d`un certain nombre, commencez par choisir un cube qui s`en rapproche le plus possible sans être plus grand que votre nombre cible.

Par exemple, si vous voulez trouver la racine cubique de 600, souvenez-vous (ou utilisez une table de cubes) que $83 = 512$ $8^{3}=512$ et $93 = 729$ $9^{3}=729$ . Par conséquent, la solution de la racine cubique de 600 sera quelque chose entre 8 et 9. Utilisez les nombres 512 et 729 comme limites supérieure et inférieure pour votre solution.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 14

2. Devinez le prochain numéro. Vous connaissiez le premier chiffre grâce à votre connaissance de certains nombres cubiques. Pour le chiffre suivant, estimez un nombre entre 0 et 9 en fonction de l`endroit où votre nombre cible se situe entre les deux nombres limites.

Dans l`exemple de problème, 600 (votre nombre cible) se situe à peu près à mi-chemin entre les nombres limites 512 et 729. Alors choisis ton 5 comme prochain numéro.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 15

3. Testez votre estimation en déterminant son cube. Essayez de multiplier l`estimation avec laquelle vous travaillez maintenant pour voir à quel point vous êtes proche du nombre cible.

Dans cet exemple, vous multipliez

8, 5 * 8, 5 * 8, 5 = 614, 1.

$8.5*8.5*8.5=614.1$

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 16

4. Ajustez votre devis si nécessaire. Après avoir augmenté au cube de votre dernière estimation, vérifiez le résultat par rapport à votre nombre cible. Si le résultat est supérieur à la cible, votre estimation devrait être inférieure. Si le résultat est inférieur à l`objectif, vous devez l`ajuster vers le haut jusqu`à ce que vous atteigniez l`objectif.

Par exemple, dans ce problème,

8, 5 3

$8.5^{3}$ plus grand que la cible (600). Donc vous réduisez l`estimation à 8,4. Prenez le cube de ce nombre et comparez-le à votre cible. tu verras ça

8, 4 * 8, 4 * 8, 4 = 592, sept

$8,4*8,4*8,4=592,7$ . C`est maintenant inférieur à votre objectif. Cela vous indique que la racine cubique de 600 doit être d`au moins 8,4, mais inférieure à 8,5.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 17

5. Estimez le nombre suivant pour une réponse plus précise. Continuez cette procédure d`estimation des nombres de 0 à 9, jusqu`à ce que votre réponse soit aussi précise que vous le souhaitez. Pour chaque tour d`estimation, commencez par vérifier la position de votre dernier calcul entre les nombres limites.

Dans cet exemple de problème, votre dernière série de calculs montre que

8, 4 3 = 592, sept

$8,4^{3}=592,7$ , tandis que

8, 5 3 = 614, 1

$8.5^{3}=614.1$ . La cible (600) est légèrement plus proche de 592 que de 614. Estimez-vous donc le prochain nombre un peu moins qu`à mi-chemin entre 0 et 9. Un bon choix est 4, ce qui vous donnera une estimation de la racine cubique de 8,44.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 18

6. Continuez à estimer et à ajuster Faites cela autant de fois que nécessaire, augmentez votre estimation au cube et voyez comment elle se compare au nombre cible. Recherchez les nombres qui sont juste en dessous ou juste au-dessus du nombre cible.

Pour cet exemple de problème, commencez par noter que

8, 44 * 8, 44 * 8, 44 = 601, 2

$8.44*8.44*8.44=601.2$ . C`est juste au-dessus de la cible, alors lâchez-en et testez 8.43. Cela donne

8, 43 * 8, 43 * 8, 43 = 599, 07

$8.43*8.43*8.43=599.07$ à la suite. Vous savez donc que la racine cubique de 600 est un peu plus de 8,43 et un peu moins de 8,44.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 19

sept. Continuez jusqu`à atteindre la précision souhaitée. Continuez à estimer, comparer et ré-estimer, aussi longtemps que nécessaire, jusqu`à ce que votre solution soit aussi précise que vous le souhaitez. Notez qu`avec chaque décimale, vos nombres cibles se rapprochent de plus en plus du nombre réel.

Pour l`exemple de la racine cubique de 600, en supposant deux nombres décimaux, 8,43 est à moins de 1 du nombre cible. Si vous continuez jusqu`à trois chiffres après la virgule, vous verrez que

8, 434 3 = 599, 93

$8.434^{3}=599.93$ si le résultat est inférieur de 0,1 à la réponse réelle.

Partie3 sur 3: Comprendre comment fonctionne ce calcul

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 20

1. Revoir le binôme de Newton. Pour comprendre pourquoi cet algorithme fonctionne pour déterminer les racines cubiques, vous devez d`abord penser à quoi ressemble le cube en tant que binôme. Vous avez probablement appris cela au lycée (et comme la plupart des gens, vous l`avez probablement oublié assez rapidement). Sélectionnez deux variables

une

$une$ et

B

$B$ pour représenter les unités. Ensuite, vous calculez le binôme de

(dix une + B)

$(10A+B)$ pour les dizaines.

Utiliser le terme $dix une$ $10A$ pour créer une douzaine. Quelle que soit la note que vous choisissez $une$ $une$ , $dix une$ $10A$ formera une douzaine. Par exemple, si $une$ $une$ est 2 et $B$ $B$ est 6, alors . devient $(dix une + B)$ $(10A+B)$ égal à 26.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 21

2. Écrire le binôme dans un cube. Nous travaillons maintenant à rebours, en déterminant d`abord le cube, puis en voyant pourquoi la solution des racines cubiques fonctionne. Nous avons besoin des valeurs de

(dix une + B) 3

$(10A+B)^{3}$ trouver. Vous le faites en vous entraînant

(dix une + B) * (dix une + B) * (dix une + B)

$(10A+B)*(10A+B)*(10A+B)$ . C`est un calcul trop long à montrer ici, mais le résultat final est

1000 une 3 + 300 {une}^{2} B + 30 une B^{2} + B^{3}

$1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}$ .

Pour en savoir plus sur le binôme de Newton et obtenir ce résultat, en savoir plus sur la multiplication de binômes sur wikiHow. Si vous voulez une version plus détaillée et rapide, lisez plus sur le Triangle de Pascal.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 22

3. Connaître le sens de la division longue. Notez que la méthode de calcul de la racine cubique fonctionne comme une division longue. Dans la division longue, vous voyez que deux facteurs se sont multipliés ensemble, donnez le nombre avec lequel vous avez commencé. Dans ce calcul, le nombre que vous recherchez (le nombre qui se termine au-dessus du radical) est la racine cubique. Cela signifie qu`il est égal au terme (10A+B). Les véritables A et B ne sont plus pertinents maintenant, tant que vous comprenez la relation avec la réponse.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 23

4. Voir la version étendue. Quand vous regardez le binôme de Newton, vous voyez pourquoi l`algorithme de racine cubique est correct. Voyez comment le diviseur à chaque étape de l`algorithme est égal à la somme des quatre termes que vous devez calculer et additionner. Ces termes se présentent comme suit :

Le premier terme contient un pluriel de 1000. Vous choisissez d`abord un nombre qui pourrait être élevé au cube tout en restant dans la plage de division longue en tant que premier chiffre. Cela donne le terme 1000A^3 dans le binôme.

Le deuxième terme du binôme de Newton a un coefficient de 300. (C`est de la part de

3 * dix 2

$3*10^{2}$ .) N`oubliez pas que lors du calcul de la racine cubique, le premier chiffre de chaque étape a été multiplié par 0300.

Le deuxième chiffre de chaque étape du calcul de la racine cubique provient du troisième terme du binôme de Newton. Dans le binôme de Newton, vous voyez le terme 30AB^2.

Le dernier chiffre de chaque étape est le terme B^3.

Image intitulée Calculer la racine du cube à la main, étape 24

5. Regardez la précision grandir. En travaillant sur une longue division, chaque étape que vous effectuez donne une grande précision à votre réponse. Par exemple, l`exemple de problème élaboré dans cet article consiste à déterminer la racine cubique de 10. Dans la première étape, la solution est 2, car

23

$2^{3}$ se rapproche, mais est inférieur à 10. En réalité,

23 = 8

$2^{3}=8$ . Après le deuxième tour, votre solution est 2.1. Une fois que vous aurez réglé cela, vous obtiendrez

2, 1 3 = 9, 261

$2.1^{3}=9.261$ , et c`est beaucoup plus proche du résultat souhaité (10). Après le troisième tour, vous avez 2,15, et cela vous donne

2, 15 3 = 9, 94

$2.15^{3}=9.94$ . Continuez à travailler en groupes de trois nombres et vous obtiendrez une réponse aussi précise que vous le souhaitez.

Des astuces

Comme tout, vos compétences en mathématiques s`amélioreront avec la pratique. Plus vous pratiquez, mieux vous serez capable de faire ce genre de calculs.