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Nécessités

En algèbre, une équation quadratique est un polynôme composé de 3 termes, de la forme ax + bx + c. Les polynômes ont de nombreuses applications en mathématiques et en sciences, et la résolution d`équations quadratiques est une compétence importante. Alors que la plupart des équations quadratiques peuvent être simplement factorisées, il existe plusieurs cas où une équation quadratique doit être factorisée d`une manière spéciale.Si aucune des méthodes du guide suivant n`est utile, il peut être nécessaire d`utiliser des méthodes pour factoriser des polynômes supérieurs.

Pas

Méthode 1 sur 4: Division Deux

Image intitulée Factor Trinomials Step 2

1. Ordonner les arguments de l`équation quadratique du plus grand au plus petit. Un argument est une variable dans le polynôme ; l`ordre normal de placement des termes va de la puissance la plus élevée à la plus faible. Donc, 5 + x + 6x doit être commandé comme x + 6x + 5.

Image intitulée Factor Trinomials Step 1

2. Exclure tous les facteurs qui se produisent dans les trois termes. Si les constantes de l`équation quadratique sont toutes des multiples du même nombre, alors vous pouvez les mettre en dehors des parenthèses, ou si chaque composant de l`équation quadratique a une variable égale, alors cette variable peut être placée en dehors des parenthèses.

Par exemple, dans l`équation quadratique -8a + 24a + 144, chaque constante est un multiple de 8, donc 8 peut être placé hors des parenthèses, ce qui donne -8(a - 3a - 18). Même si le coefficient -3 et la constante -18 sont tous deux divisibles par -3, le coefficient 1 du premier terme ne l`est pas, nous ne pouvons donc pas factoriser davantage.

Dans l`équation quadratique - x - 2x - 1, chaque terme est divisible par -1, qui après factorisation peut s`écrire (-1)(x + 2x + 1).

3. Rechercher des modèles qui facilitent la résolution d`une équation quadratique. Pour des informations et des exemples de plus en plus détaillés, voir la méthode de résolution des cas particuliers d`une équation quadratique.

Image intitulée Factor Trinomials Step 3

4. Si possible, essayez de diviser l`équation quadratique en 2 termes de la forme (mx + n)(qx + r). Il s`agit souvent d`essayer ce qui fonctionne, mais il existe des astuces qui facilitent cela. Supposons d`abord que le premier terme de l`équation quadratique (le terme x) est égal à 1 (le terme ressemble plus à x que par ex., 3x). Les valeurs m et q des deux termes sont 1, donc votre solution ressemblera à (x + b)(x + d). Trouvez ensuite pour votre équation de la forme ax + bx + c, les valeurs n et r telles que : n * r = c et n + r = b.

Dans l`exemple, x + 6x + 5, 5 * 1 = 5 et 5 + 1 = 6. Donc, la solution est (x + 1)(x + 5).

Si tous les termes de l`équation quadratique ne sont pas positifs, n`oubliez pas de considérer les nombres négatifs. Par exemple, x - 3x - 18 factorise en (x - 6)(x + 3) car -6 + 3 = -3 et -6 * 3 = -18.

5. Si la constante du premier terme n`est pas égale à 1 (par exemple. si cela ressemble plus à 3x qu`à x), la factorisation devient un peu plus difficile, et via ax + bx + c vous obtenez finalement une solution sous la forme (mx + n)(qx + r). Pour une solution correcte, m * q = a, m * r + n * q = b et n * r = c.

Commencez par faire une liste de tous les facteurs possibles de a et c. Ensuite, vérifiez quelle paire de facteurs fonctionne, en utilisant les contraintes comme indiqué ci-dessus.

Par exemple, prenez 3x + 10x + 8. Les paires de facteurs possibles de 3 sont 1 * 3. Les paires de facteurs possibles de 8 sont 1 * 8 et 2 * 4. Puisque 3 * 1 = 3 (le terme de l`équation quadratique), 1 * 4 + 2 * 3= 10 (le terme b) et 2 * 4 = 8 (le terme c), la solution est (3x + 4) ( x + 2).

Méthode 2 sur 4 : Affacturage des cas spéciaux

Image intitulée Factor Trinomials Step 4

1. Vérifiez si la constante du premier terme ou du troisième terme de l`équation est première. Un nombre premier n`est divisible que par lui-même et 1. Cela diminue le nombre de facteurs binomiaux possibles. Dans l`exemple précédent : x + 6x + 5 il n`y a qu`un seul ensemble possible de facteurs binomiaux, (x + 5)(x + 1), car 5 est premier.

Image intitulée Factor Trinomials Step 5

2. Vérifiez si l`équation quadratique est un carré parfait. Cela nécessite que les valeurs des coefficients a et c de l`équation ax + bx + c soient des carrés parfaits (et positifs!), et que la valeur de b est le double de la valeur du produit de la racine carrée de a et c.

(x + a) devient x + 2ax + a. Par exemple, (x + 3) = x + 6x + 9, et (3x + 2) = 9x + 12x + 4.

De même, (x - a) devient x - 2ax + a. Par exemple, (x - 3) = x - 6x + 9.

Image intitulée Factor Trinomials Step 6

3. Pour certaines équations quadratiques de la forme x - n :

(x + a)(x - a) devient x - a. Donc x - 9 peut être rapidement pris en compte dans (x + 3)(x - 3), et 4x - 4 = (2x + 2)(2x - 2).

Méthode 3 sur 4: Utilisation de la formule abc

Pour les équations quadratiques de la forme ax + bx + c difficiles ou impossibles à résoudre, utilisez la formule abc.

1. Apprendre à utiliser la formule abc.

2. Entrez a, b et c et résolvez la première partie de la formule. Supposons que nous ayons l`équation quadratique x + 5x + 6.

Commencez par b - 4ac, qui est 5 - 4(1)(6) = 1. La racine carrée de 1 est 1.

Terminer en résolvant l`équation. -b + 1 = -5 + 1 = -4. Divisez ceci par 2a (2 * 1 = 2) pour obtenir -2 comme réponse.

3. Résoudre l`autre partie. Nous savons déjà que la racine carrée de b - 4ac = 1. -b - 1 = -6. Divisez ceci par 2a (2) pour obtenir -3.

4. Vérifiez vos solutions en les remplissant pour x. Parfois, une ou plusieurs des réponses ne sont pas des solutions valides (par exemple, s`il s`agit de nombres imaginaires). Mais si une équation quadratique a une solution, alors l`équation la trouvera.

Notez que si nous avions factorisé cette équation, au lieu d`utiliser la formule abc, nous aurions eu comme réponse (x + 2)(x + 3). Si vous définissez cette équation égale à 0, vous obtenez deux solutions, x = 2 et x = -3, que nous avons également trouvées avec la formule.

Méthode 4 sur 4: Le carré caché dans un polynôme

Certaines équations quadratiques sont d`un ordre supérieur, mais essentiellement uniquement quadratiques. Une fois reconnus comme tels, vous pouvez les traiter comme tels en utilisant la substitution.

1. Regardez les variables dans chaque terme.Par exemple, x - 7x + 12 semble être une puissance de 6, mais après substitution de u=x, cela devient u - 7u + 12. Cela vous laisse avec une équation qui est beaucoup plus facile à résoudre.

Des substitutions plus complexes peuvent aider à résoudre des problèmes plus délicats. Par exemple, xy - 7xy + 12y est simplifié en xy(u - 7u + 12) et après substitution u = x/y. Une telle substitution est possible chaque fois que la somme des puissances des deux termes est le double de la puissance du terme restant.

Image intitulée Factor Trinomials Step 7

Image intitulée Factor Trinomials Step 8

2. Si une telle substitution peut avoir lieu, alors factorisez le polynôme simple, dans ce cas, u - 7u + 12 = (u-3)(u-4)

Image intitulée Factor Trinomials Step 9

3. Annuler la substitution et appliquer x à la solution. Alors, remplacez u par x , x - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4). Si possible ou souhaité, chaque facteur peut être simplifié encore plus.

Des astuces

Utilisez le critère d`Eisenstein pour déterminer rapidement si un polynôme est non réductible et non factorisable. Ce critère s`applique à tout polynôme, mais surtout à une équation quadratique. S`il existe un nombre premier p qui rend les deux derniers termes divisibles et satisfait les conditions suivantes, alors le polynôme ne peut pas être réduit :

Le terme constant (le c dans une équation quadratique de la forme ax + bx + c) est un pluriel de p mais pas de p.
Le premier terme (ici, a) n`est pas un pluriel de p.
Par exemple, 14x + 45x + 51 est irréductible car il a un nombre premier (3) qui rend à la fois 45 et 51 divisibles, mais pas 14 et 51, qui ne sont pas divisibles par 3.

Vous pouvez factoriser des polynômes de plusieurs variables en utilisant les méthodes ci-dessus s`il s`agit d`équations quadratiques supposant une variable. Par exemple, prenez 4xy - 5x + 15y. Cela peut être réécrit comme (4x)y + 15y - 5x. Notez que cela correspond à la forme ax + bx + c, où a = 4x et c = 5x. Cette équation peut alors être résolue avec la formule abc.

Vous pouvez pratiquer la factorisation des équations quadratiques en faisant des problèmes dans un livre traitant d`algèbre.

Mises en garde

Bien que vrai pour les carrés, les équations quadratiques qui peuvent être factorisées ne sont pas nécessairement le produit de deux binaires. Un contre-exemple est x + 105x + 46 = (x + 5x + 2)(x - 5x + 23).