Factorisation d'équations quadrilatérales

Teneur

Pas
Des astuces
Mises en garde
Nécessités

Un polynôme contient une variable (x) élevée à une certaine puissance, et plusieurs termes et/ou constantes. Pour factoriser un polynôme, vous devrez décomposer l`expression en expressions plus petites qui sont multipliées ensemble. Cela nécessite un certain niveau de mathématiques et peut donc être difficile à comprendre si vous n`êtes pas encore si loin.

Pas

Méthode 1 sur 7 : Mise en route

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 1

1. L`équation. Le format standard pour une équation quadratique est :

ax + bx + c = 0
Commencez par ordonner les termes de votre équation de la puissance la plus élevée à la plus faible. Par exemple, prenons :

6 + 6x + 13x = 0
Nous allons réorganiser cette expression pour la rendre plus facile à utiliser - simplement en déplaçant les termes :

6x + 13x + 6 = 0

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 2

2. Trouvez les facteurs en utilisant l`une des méthodes ci-dessous. La factorisation du polynôme se traduira par deux expressions plus petites qui peuvent être multipliées ensemble pour obtenir le polynôme d`origine :

6x + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)
Dans cet exemple, (2x +3) et (3x + 2) sont les facteurs de l`expression originale, 6x + 13x + 6.

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 3

3. Vérifie ton travail! Multipliez les facteurs que vous avez trouvés. Combinez les termes similaires et vous avez terminé. Commencer avec:

(2x + 3) (3x + 2)
Testons cela, en multipliant les termes en utilisant EBBL (premier - extérieur - intérieur - dernier), ce qui nous donne :

6x + 4x + 9x + 6
Maintenant, nous ajoutons 4x et 9x ensemble car ce sont des termes égaux. Nous savons que les facteurs sont corrects car nous récupérons l`équation avec laquelle nous avons commencé :

6x + 13x + 6

Méthode 2 sur 7: Essais et erreurs

Si vous avez un polynôme assez simple, vous pourrez peut-être voir tout de suite quels sont les facteurs. Par exemple, après un peu de pratique, de nombreux mathématiciens sont capables de voir que l`expression 4x + 4x + 1 a les facteurs (2x + 1) et (2x + 1) simplement parce qu`ils ont vu cela tant de fois. (Évidemment, ce ne sera pas si facile avec des polynômes plus compliqués.) Prenons une expression moins standard pour cet exemple :

3x + 2x - 8

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 4

1. Notez les facteurs de la une terme et le c terme. Utiliser le format ax + bx + c = 0, reconnaître le une et c termes et notez les facteurs. Pour 3x + 2x - 8, cela signifie :

a = 3 et a 1 paire de facteurs : 1 * 3
c = -8 et il a 4 paires de facteurs : -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 et -1 * 8.

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 5

2. Écris deux paires de parenthèses avec un espace vide. Ici, vous entrez les constantes de chaque expression :

(x)(x)

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 6

3. Remplissez l`espace devant les x avec quelques facteurs possibles de la une où le. Pour le une terme dans notre exemple, 3x, il n`y a qu`une seule possibilité :

(3x )(1x )

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 7

4. Remplissez les 2 espaces après les x avec quelques facteurs pour les constantes. Supposons que nous choisissions 8 et 1. Saisissez ceci :

(3x 8)(X 1)

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 8

5. Déterminer quels signes (plus ou moins) doivent être placés entre les variables x et les nombres. Selon les signes de l`expression originale, il est possible de savoir quels doivent être les signes des constantes. Prenons les deux constantes des deux facteurs h et k à mentionner:

Si ax + bx + c alors (x + h)(x + k)
Si ax - bx - c ou ax + bx - c alors (x - h)(x + k)
Si ax - bx + c alors (x - h)(x - k)
Dans notre exemple, 3x + 2x - 8, le signe est :(x - h)(x + k), ce qui nous donne les deux facteurs suivants :

(3x + 8) et (x - 1)

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 9

6. Testez votre choix avec la multiplication premier-extérieur-intérieur-dernier. Un premier test rapide pour voir si le moyen terme est au moins la bonne valeur. Si non, alors vous avez probablement le mauvais c facteurs choisis. Testons la réponse :

(3x + 8)(x - 1)
Par multiplication on obtient :

3x - 3x + 8x - 8
Simplifiez cette expression en ajoutant les termes similaires (-3x) et (8x), et nous obtenons :

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Nous savons maintenant que nous avons pris les mauvais facteurs :

3x + 5x - 8 3x + 2x - 8

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 10

sept. Échangez vos choix si nécessaire. Dans notre exemple, essayons 2 et 4, au lieu de 1 et 8 :

(3x + 2)(x - 4)
Maintenant notre c terme égal à -8, mais le produit extérieur/intérieur de (3x * -4) et (2 * x) est -12x et 2x, ce qui n`est pas le bon b terme ou +2x obtient.

-12x + 2x = 10x
10x 2x

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 11

8. Inversez la commande si nécessaire. Essayons de retourner 2 et 4:

(3x + 4)(x - 2)
Maintenant notre c terme (4 * 2 = 8) et toujours OK, mais les produits externes/internes sont -6x et 4x.En les combinant, nous obtenons :

-6x + 4x = 2x
2x -2x Nous nous approchons du 2x où nous voulons être, mais le signe n`est pas encore bon.

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 12

9. Vérifiez vos personnages si nécessaire. Nous gardons cet ordre, mais l`interchangeons avec le signe moins :

(3x - 4)(x + 2)
Maintenant le c terme toujours ok, et les produits extérieurs/intérieurs sont maintenant (6x) et (-4x). Parce que:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Nous voyons maintenant le retour positif 2x du problème d`origine. Ce doivent être les bons facteurs.

Méthode 3 sur 7: Décomposition

Cette méthode donne tous les facteurs possibles de une et c termes et les utiliser pour découvrir quels facteurs sont corrects. Si les nombres sont très volumineux ou si les conjectures d`autres méthodes prennent trop de temps, utilisez cette méthode. Un exemple:

6x + 13x + 6

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 13

1. Multipliez le une terme avec le c terme. Dans cet exemple,, une est 6 et c est aussi 6.

6 * 6 = 36

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 14

2. Trouvez le b terme par factorisation et test. Nous recherchons 2 nombres facteurs de une * c , et ensemble le b terme (13) forme.

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 15

3. Remplacez les deux nombres que vous obtenez dans votre équation par la somme des b terme. Faisons k et h pour représenter les 2 nombres que nous avons, 4 et 9 :

hache + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 16

4. Factoriser le polynôme en regroupant. Organisez l`équation de manière à isoler le plus grand commun diviseur des deux premiers termes et des deux derniers termes. Les deux facteurs devraient être les mêmes. Additionnez les PGCD et placez-les entre parenthèses, à côté des facteurs ; en conséquence, vous obtenez les deux facteurs :

6x + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Méthode 4 sur 7 : Triple Play

Similaire à la méthode de décomposition. La méthode « triple play » examine les facteurs possibles du produit de une et c et l`utiliser pour découvrir ce que b doit être. Prenons l`équation comme exemple :

8x + 10x + 2

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 17

1. Multipliez le une terme avec le c terme. Comme pour la méthode de décomposition, nous l`utilisons pour déterminer les candidats à la b terme. Dans cet exemple : une a 8 ans et c est 2.

8 * 2 = 16

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 18

2. Trouvez les 2 nombres avec ce nombre comme produit et avec une somme égale au b terme. Cette étape est équivalente à la méthode de décomposition - nous testons les candidats pour les constantes. Le produit de la une et c termes est de 16, et le c terme est 10 :

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 19

3. Prenez ces 2 nombres et remplacez-les dans la formule `triple play`. Reprenons les 2 nombres de l`étape précédente - mettons-les h et k appelez-les - et mettez-les dans l`expression :

((ax + h)(ax + k))/ un

Avec cela on obtient :

((8x + 8)(8x + 2)) / 8

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 20

4. Voyez lequel des deux termes du dénominateur peut être complètement divisé par une. Dans cet exemple, nous cherchons à savoir si (8x + 8) ou (8x + 2) peut être divisé par 8. (8x + 8) est divisible par 8, on divise donc ce terme par une et laissons l`autre tranquille.

(8x + 8) = 8(x + 1)
Le terme que nous avons retenu ici est celui qui reste après division par le une terme :(x + 1)

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 21

5. Prenez le plus grand diviseur commun (pgcd) de l`un ou des deux termes, si possible. Dans cet exemple, nous voyons que le deuxième terme a un pgcd de 2, car 8x + 2 = 2(4x + 1). Combinez cette réponse avec le terme que vous avez découvert à l`étape précédente. Ce sont les facteurs de votre équation.

2(x + 1)(4x + 1)

Méthode 5 sur 7: La différence entre deux carrés

Certains coefficients dans un polynôme peuvent être reconnus comme des « carrés », ou aussi comme le produit de 2 des mêmes nombres. En découvrant ce que sont ces carrés, vous pourrez peut-être factoriser les polynômes beaucoup plus rapidement. On prend l`équation :

27x - 12 = 0

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 22

1. Supprimer le pgcd de l`équation, si possible. Dans ce cas on voit que 27 et 12 sont tous les deux divisibles par 3, on peut donc les mettre séparément :

27x - 12 = 3(9x - 4)

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 23

2. Déterminez si les coefficients de votre équation sont des carrés. Pour utiliser cette méthode, il est nécessaire de pouvoir déterminer la racine des termes. (Notez que nous avons omis les nombres décimaux - parce que ces nombres sont des carrés, ils peuvent être le produit de 2 nombres négatifs)

9x = 3x * 3x et 4 = 2 * 2

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 24

3. En utilisant la racine carrée que vous avez déterminée, vous pouvez maintenant écrire les facteurs. Nous prenons le une et c valeurs de l`étape précédente : une = 9 et c = 4, donc les racines de ceci sont : - √une = 3 etc = 2. Voici les coefficients des expressions factorisées :

27x - 12 = 3(9x - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)

Méthode 6 sur 7: La formule ABC

Si rien ne semble fonctionner et que vous ne pouvez pas factoriser l`équation, utilisez la formule abc. Prenons l`exemple suivant :

x + 4x + 1 = 0

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 25

1. Remplissez les valeurs correspondantes, dans la formule abc :

x = -b ± (b - 4ac)
---------------------
2a
On obtient maintenant l`expression :

x = -4 ± (4 - 4•1•1) / 2

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 26

2. Résoudre pour x. Vous devriez maintenant obtenir 2 valeurs pour x. Ceux-ci sont:

x = -2 + (3) ou x = -2 - (3)

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 27

3. Utiliser les valeurs de x pour déterminer les facteurs. Remplissez les valeurs x obtenues dans les deux équations, comme des constantes. Ce sont vos facteurs. Si on répond aux deux h et k alors nous écrivons les deux facteurs comme suit :

(x - h) (x - k)
Dans ce cas, la réponse finale est :

(x - (-2 + (3))(x - (-2 - √(3)) = (x + 2 - √(3))(x + 2 + √(3))

Méthode 7 sur 7:Utiliser une calculatrice

S`il est autorisé (ou obligatoire) d`utiliser une calculatrice graphique, cela rend la factorisation beaucoup plus facile, en particulier pendant les examens et les examens. Les instructions suivantes concernent une calculatrice graphique TI. On utilise l`équation de l`exemple :

y = x − x − 2

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 28

1. Entrez l`équation dans votre calculatrice. Vous utiliserez le solveur d`équations, également connu sous le nom d`écran [Y = ].

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 29

2. Tracez l`équation avec la calculatrice. Une fois que vous avez entré l`équation, appuyez sur [GRAPH] - vous devriez maintenant voir une ligne courbe, une parabole comme représentation graphique de votre équation (et c`est une parabole, car nous avons affaire à un polynôme).

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 30

3. Trouver l`intersection de la parabole avec l`axe des x. Puisqu`une équation quadratique est traditionnellement notée ax + bx + c = 0, ce sont les deux valeurs x qui rendent l`équation égale à zéro :

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2

Si vous ne pouvez pas voir où la parabole coupe l`axe des x, appuyez sur [2nd] puis sur [TRACE]. Appuyez sur [2] ou sélectionnez "zéro". Déplacez le curseur à gauche d`une intersection et appuyez sur [ENTER]. Déplacez le curseur sur le côté droit d`une intersection et appuyez sur [ENTER]. Déplacez le curseur le plus près possible de l`intersection et appuyez sur [ENTER]. La calculatrice indiquera la valeur x.Faire de même pour l`autre point d`intersection.

Image intitulée Facteur de polynômes du deuxième degré (équations quadratiques) Étape 31

4. Entrez les valeurs x que vous avez obtenues, dans les deux expressions factorisées. Si nous prenons les deux valeurs de x h et k notez-le comme un terme, alors l`expression que nous utilisons ressemble à ceci :

(x - h)(x - k) = 0
Ainsi nos deux facteurs deviennent alors :

(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)

Des astuces

Si vous avez factorisé le polynôme avec la formule abc et que votre réponse contient des racines, vous pouvez convertir les valeurs x en fractions pour les vérifier.
Si un terme n`a pas de coefficient devant lui, alors le coefficient est égal à 1, par exemple. x = 1x.
Si vous avez une calculatrice TI-84, il existe un programme appelé SOLVER qui peut résoudre une équation quadratique pour vous. Cela résout également les polynômes de degré supérieur.
Après beaucoup de pratique vous finirez par réussir à résoudre des polynômes par cœur. Mais juste pour être sûr, il vaut mieux toujours les écrire.
Si un terme n`existe pas, alors le coefficient est égal à zéro. Ensuite, il peut être utile de réécrire l`équation. Par exemple. x + 6 = x + 0x + 6.

Mises en garde

Lorsque vous apprenez ce concept en classe de mathématiques, faites attention à ce que l`enseignant explique et n`utilisez pas seulement votre propre méthode préférée. Vous pouvez être invité à utiliser une méthode spécifique sur un test, ou les calculatrices graphiques peuvent ne pas être autorisées.