Résolution d'équations trigonométriques : 8 étapes (avec des images)

Une équation trigonométrique est une équation avec une ou plusieurs fonctions trigonométriques de la courbe trigonométrique variable x. Résoudre pour x signifie trouver les valeurs des courbes trigonométriques dont les fonctions trigonométriques rendent l`équation trigonométrique vraie.

Les réponses ou valeurs des courbes de solution, sont exprimées en degrés ou en radians. Exemples:

x = Pi/3 ; x = 5Pi/6 ; x = 3Pi/2 ; x = 45 degrés ; x = 37,12 degrés ; x = 178,37 degrés

Remarque : Sur le cercle unité, les fonctions trigonométriques de toute courbe sont égales aux fonctions trigonométriques de l`angle correspondant. Le cercle unité définit toutes les fonctions trigonométriques de la courbe variable x. Il est également utilisé comme preuve lors de la résolution d`équations et d`inéquations trigonométriques de base.
Exemples d`équations trigonométriques :

sin x + sin 2x = 1/2;tan x + cot x = 1.732 ;
cos 3x + sin 2x = cos x ; 2sin 2x + cos x = 1 .

Le cercle unité.
C`est un cercle de rayon = 1, où O est l`origine. Le cercle unitaire définit 4 fonctions principales trigonométriques de la courbe variable x, qui tourne dans le sens antihoraire autour d`elle.
Lorsque la courbe de valeur x varie sur le cercle unité, alors tient :
L`axe horizontal OAx définit la fonction trigonométrique f(x) = cos x.
L`axe vertical OBy définit la fonction trigonométrique f(x) = sin x.
L`axe vertical AT définit la fonction trigonométrique f(x) = tan x.
L`axe horizontal BU définit la fonction trigonométrique f(x) = cot x.

Le cercle unité est également utilisé pour résoudre les équations trigonométriques de base et les inégalités trigonométriques classiques, en considérant les différentes positions de la courbe x sur le cercle.

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Image intitulée Solve Trigonometric Equations Step 1

1. Comprendre la méthode de résolution.

Pour résoudre une équation trigonométrique, convertissez-la en une ou plusieurs équations trigonométriques de base. La résolution d`équations trigonométriques aboutit finalement à la résolution de 4 équations trigonométriques de base.

Image intitulée Solve Trigonometric Equations Step 2

2. Savoir résoudre les équations trigonométriques de base.

Il existe 4 équations trigonométriques de base :

sin x = a; cos x = un

tan x = a; lit bébé x = a

La résolution des équations trigonométriques de base se fait en étudiant les différentes positions de la courbe x sur le cercle trigonométrique et en utilisant une table de conversion trigonométrique (ou calculatrice). Pour bien comprendre comment résoudre ces équations trigonométriques de base similaires, lisez le livre suivant :"Trigonométrie : résolution d`équations et d`inéquations trigonométriques" (Amazon Ebook 2010).

Exemple 1. Résoudre pour le péché x = 0,866. La table de conversion (ou calculatrice) donne la réponse : x = Pi/3. Le cercle trigonométrique donne une autre courbe (2Pi/3) avec la même valeur pour le sinus (0,866). Le cercle trigonométrique donne également une infinité de réponses appelées réponses étendues.

x1 = Pi/3 + 2k.Pi, et x2 = 2Pi/3.(Réponses dans un délai (0, 2Pi))

x1 = Pi/3 + 2k Pi, et x2 = 2Pi/3 + 2k Pi.(Réponses détaillées).

Exemple 2. Résoudre : cos x = -1/2. Les calculatrices donnent x = 2 Pi/3. Le cercle trigonométrique donne aussi x = -2Pi/3.

x1 = 2Pi/3 + 2k.Pi, et x2 = - 2Pi/3.(Réponses pour la période (0, 2Pi))

x1 = 2Pi/3 + 2k Pi, et x2 = -2Pi/3 + 2k.pi.(Réponses détaillées)

Exemple 3. Résoudre : tan (x - Pi/4) = 0.

x = Pi/4 ;(Réponse)

x = Pi/4 + k Pi ; (Réponse détaillée)

Exemple 4. Résoudre : cot 2x = 1.732. Les calculatrices et le cercle trigonométrique donnent :

x = Pi/12 ;(Réponse)

x = Pi/12 + k Pi ;(Réponses détaillées)

Image intitulée Solve Trigonometric Equations Step 3

3. Apprenez les transformations utilisées dans la résolution d`équations trigonométriques.

Pour convertir une équation trigonométrique donnée en équations trigonométriques standard, utilisez des conversions algébriques standard (factoriser, facteur commun, polynômes...), définitions et propriétés des fonctions trigonométriques et des identités trigonométriques. Il en existe environ 31, dont 14 identités trigonométriques, de 19 à 31, également appelées identités détransformées, car utilisées dans la conversion des équations trigonométriques. Voir le livre ci-dessus.

Exemple 5 : L`équation trigonométrique : sin x + sin 2x + sin 3x = 0 peut être convertie en un produit d`équations trigonométriques de base en utilisant des identités trigonométriques : 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Les équations trigonométriques de base à résoudre sont : cos x = 0 ; sin(3x/2) = 0 ; et cos(x/2) = 0.

Image intitulée Solve Trigonometric Equations Step 4

4. Trouver les courbes dont les fonctions trigonométriques sont connues.

Avant de pouvoir apprendre à résoudre des équations trigonométriques, il faut savoir trouver rapidement les courbes dont les fonctions trigonométriques sont connues. Les valeurs de conversion des courbes (ou angles) peuvent être déterminées avec des tables trigonométriques ou la calculatrice.

Exemple : résoudre pour cos x = 0.732. La calculatrice donne la solution x = 42,95 degrés. Le cercle unité donne d`autres courbes avec la même valeur pour le cosinus.

Image intitulée Solve Trigonometric Equations Step 5

5. Tracez l`arc de la réponse sur le cercle unité.

Vous pouvez faire un graphique pour illustrer la solution du cercle unité. Les extrémités de ces courbes sont constituées de polygones ordinaires sur le cercle trigonométrique. Quelques exemples:

Les extrémités de la courbe x = Pi/3 + k.Pi/2 est un carré sur le cercle unité.

Les courbes de x = Pi/4 + k.Pi/3 sont représentés par les coordonnées d`un hexagone sur le cercle unité.

Image intitulée Solve Trigonometric Equations Step 6

6. Apprendre à résoudre des équations trigonométriques.

Si l`équation trigonométrique donnée ne contient qu`une seule fonction trigonométrique, résolvez-la comme une équation trigonométrique standard. Si l`équation donnée contient deux ou plusieurs fonctions trigonométriques, il existe alors 2 méthodes de résolution en fonction des options de conversion de l`équation.

une.Méthode 1.

Convertir l`équation trigonométrique en un produit de la forme : f(x).g(x) = 0 ou f(x).g(x).h(x) = 0, où f(x), g(x) et h(x) sont des équations trigonométriques de base.

Exemple 6. Résoudre : 2cos x + sin 2x = 0.(0 < X < 2Pi)

Solution. Remplacez sin 2x dans l`équation en utilisant l`identité : sin 2x = 2*sin x*cos x.

cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*( sin x + 1)= 0. Résolvez ensuite 2 fonctions trigonométriques standard : cos x = 0 et (sin x + 1) = 0.

Exemple 7. Résoudre : cos x + cos 2x + cos 3x = 0.(0 < X < 2Pi)

Solution : Convertissez ceci en un produit, en utilisant les identités trigonométriques : cos 2x(2cos x + 1 ) = 0. Résolvez maintenant les 2 équations trigonométriques de base : cos 2x = 0, et (2cos x + 1) = 0.

Exemple 8. Résoudre : sin x - sin 3x = cos 2x.(0 < X < 2Pi)

Solution : Convertissez ceci en un produit, en utilisant les identités trigonométriques : -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Résolvez maintenant les 2 équations trigonométriques de base : cos 2x = 0, et (2sin x + 1) = 0.

B.Approche 2.

Convertir l`équation trigonométrique en une équation trigonométrique avec une seule fonction trigonométrique unique en tant que variable. Il y a quelques conseils sur la façon de choisir une variable appropriée. Les variables communes sont : sin x = t ; cosx = t; cos 2x = t, tan x = t et tan (x/2) = t.

Exemple 9. Résoudre : 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7(0 < X < 2Pi).

Solution. Dans l`équation, remplacez (cos^2 x) par (1 - sin^2 x) et simplifiez l`équation :

3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Maintenant, utilisez sin x = t. L`équation devient : 5t^2 - 4t - 9 = 0. C`est une équation quadratique à 2 racines : t1 = -1 et t2 = 9/5. On peut rejeter le deuxième t2 car > 1. Maintenant, résolvez pour : t = sin = -1 --> x = 3Pi/2.

Exemple 10. Résoudre : tan x + 2 tan^2 x = cot x + 2.

Solution. Utiliser tan x = t. Convertir l`équation donnée en une équation avec t comme variable : (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Résoudre pour t à partir de ce produit, puis résoudre l`équation trigonométrique standard tan x = t pour x.

Image intitulée Solve Trigonometric Equations Step 7

sept. Résoudre des équations trigonométriques spéciales.

Il existe quelques équations trigonométriques spéciales qui nécessitent des conversions spécifiques. Exemples:

a*sin x+ b*cos x = c ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c ;

a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0

Image intitulée Solve Trigonometric Equations Step 8

8. Apprendre les propriétés périodiques des fonctions trigonométriques.

Toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques, c`est-à-dire qu`elles reviennent à la même valeur après une rotation sur une période. Exemples:

La fonction f(x) = sin x a 2Pi comme période.

La fonction f(x) = tan x a Pi comme période.

La fonction f(x) = sin 2x a Pi comme période.

La fonction f(x) = cos (x/2) a 4Pi comme période.

Si la période est précisée dans les exercices/tests, il suffit de trouver la ou les courbes x à l`intérieur de cette période.

ATTENTION : La résolution d`équations trigonométriques est délicate et conduit souvent à des erreurs et des erreurs. Par conséquent, les réponses doivent être vérifiées attentivement. Après avoir résolu, vous pouvez vérifier les réponses à l`aide d`une calculatrice graphique, pour une représentation directe de l`équation trigonométrique donnée R(x) = 0. Les réponses (sous forme de racine carrée) sont données en décimales. Par exemple, Pi a une valeur de 3,14