Instructions gratuites étape par étape 
Si vous avez plus de variables, continuez simplement la ligne aussi longtemps qu`il le faudra. Par exemple, si vous essayez de résoudre un système de six variables, votre forme standard ressemblera à Au+Bv+Cw+Dx+Ey+Fz=G. Dans cet article, nous allons nous concentrer sur les systèmes avec seulement trois variables. Résoudre un système plus grand est exactement la même, mais prend juste plus de temps et plus d`étapes. Notez que dans la forme standard les opérations entre les termes sont toujours une addition. S`il y a une soustraction dans votre équation, au lieu d`une addition, vous devrez travailler avec cela plus tard en rendant votre coefficient négatif. Pour rendre cela plus facile à retenir, vous pouvez réécrire l`équation et ajouter l`opération et rendre le coefficient négatif. Par exemple, vous pouvez réécrire l`équation 3x-2y+4z=1 en 3x+(-2y)+4z=1. 
Supposons que vous ayez un système composé des trois équations 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3 et x+y+z=7. La rangée supérieure de votre matrice contiendra les nombres 3, 1, -1, 9, car ce sont les coefficients et la solution de la première équation. Notez que toute variable qui n`a pas de coefficient est supposée avoir un coefficient de 1. La deuxième ligne de la matrice devient 2, -2, 1, -3 et la troisième ligne 1, 1, 1, 7. Assurez-vous d`aligner les coefficients x dans la première colonne, les coefficients y dans la seconde, les coefficients z dans la troisième et les termes de solution dans la quatrième. Lorsque vous aurez fini de travailler avec la matrice, ces colonnes seront importantes lors de la rédaction de votre solution. 
Vous pouvez indiquer n`importe quelle position spécifique dans une matrice en utilisant une combinaison de R et C. Par exemple, pour désigner un terme dans la deuxième ligne, troisième colonne, vous pouvez l`appeler R2C3. 
Il est courant d`utiliser des fractions dans la multiplication scalaire car vous souhaitez souvent obtenir une rangée diagonale de 1. Habituez-vous à travailler avec des fractions. Il sera également plus facile (pour la plupart des étapes de résolution de la matrice) de pouvoir écrire vos fractions sous une forme incorrecte, puis de les reconvertir en nombres mixtes pour la solution finale. C`est pourquoi le nombre 1 2/3 est plus facile à travailler si vous l`écrivez 5/3. Par exemple, la première ligne (R1) de notre exemple de problème commence par les termes [3.1,-1,9]. La matrice de solution doit contenir un 1 dans la première position de la première ligne. Pour « transformer » le 3 en 1, nous pouvons multiplier la ligne entière par 1/3. Cela crée le nouveau R1 de [1.1/3,-1/3.3]. Assurez-vous de laisser tous les signes négatifs à leur place. 
Vous pouvez utiliser la notation abrégée et déclarer cette opération comme R2-R1=[0,-1,2,6]. Rappelez-vous que l`addition et la soustraction sont juste des formes opposées de la même opération. Vous pouvez considérer cela comme l`addition de deux nombres ou la soustraction du contraire. Par exemple, si vous commencez avec l`équation simple 3-3=0, vous pouvez considérer cela comme un problème d`addition de 3+(-3)=0. le résultat est le même. Cela semble simple, mais il est parfois plus facile d`envisager un problème sous une forme ou une autre. Gardez juste un œil sur vos signes négatifs. 
Coupler; qu`il y a une ligne 1 de [1,1,2,6] et une ligne 2 de [2,3,1,1]. Vous voulez un terme 0 dans la première colonne de R2. C`est-à-dire que vous voulez changer le 2 en 0. Pour ce faire, vous devez soustraire un 2. Vous pouvez obtenir un 2 en multipliant d`abord la ligne 1 par la multiplication scalaire 2, puis en soustrayant la première ligne de la deuxième ligne. Sous forme abrégée, cela peut être écrit R2-2*R1. Commencez par multiplier R1 par 2 pour obtenir [2,2,4,12]. Ensuite, soustrayez-le de R2 pour obtenir [(2-2),(3-2),(1-4),(1-12)]. Simplifiez cela et votre nouveau R2 devient [0,1,-3,-11]. 
Une erreur courante se produit lors de l`exécution d`une étape combinée de multiplication et d`addition en un seul mouvement. Par exemple, supposons que vous deviez soustraire R1 de R2 deux fois. Lorsque vous multipliez R1 par 2 pour effectuer cette étape, rappelez-vous que R1 ne change pas dans la matrice. Tu fais seulement la multiplication pour changer R2. Copiez d`abord R1 dans sa forme d`origine, puis modifiez-le en R2. 
1. Faire un 1 dans la première ligne, première colonne (R1C1). 2. Faire un 0 dans la deuxième ligne, première colonne (R2C1). 3. Faire un 1 dans la deuxième ligne, deuxième colonne (R2C2). 4. Faire un 0 dans la troisième ligne, première colonne (R3C1). 5. Faire un 0 dans la troisième ligne, deuxième colonne (R3C2). 6. Faire un 1 dans la troisième ligne, troisième colonne (R3C3). 
Créez un 0 dans la deuxième ligne, troisième colonne (R2C3). Créez un 0 dans la première ligne, troisième colonne (R1C3). Créez un 0 dans la première ligne, deuxième colonne (R1C2). 
Notez que la multiplication et la division ne sont que des fonctions inverses l`une de l`autre. On peut dire qu`on multiplie par 1/3 ou divise par 3, sans changer le résultat. 
Ecrire la ligne 3 (qui n`a pas changé) si R3=[1,1,1,7]. Soyez prudent lorsque vous soustrayez des nombres négatifs pour vous assurer que les caractères restent corrects. Maintenant, mettons d`abord les fractions sous leur forme impropre. Cela facilite les étapes ultérieures de la solution. Vous pouvez simplifier les fractions dans la dernière étape du problème. 
Notez que si la moitié gauche de la séquence commence à ressembler à la solution avec les 0 et 1, la moitié droite peut sembler moche, avec des fractions impropres. Laisse-les juste pour ce qu`ils sont maintenant. N`oubliez pas de continuer à copier les lignes non affectées, donc R1=[1,1/3,-1/3,3] et R3=[1,1,1,7]. 
Continuez à copier le long de R1=[1.1/3,-1/3.3] et R2=[0.1,-5/8.27/8]. N`oubliez pas que vous ne modifiez qu`une ligne à la fois. 
Notez que les fractions qui semblaient assez compliquées à l`étape précédente commencent déjà à se résoudre. Continuer avec R1=[1.1/3,-1/3.3] et R2=[0.1,-5/8.27/8]. Notez qu`à ce stade, vous avez la diagonale de 1 pour votre matrice de solution. Il vous suffit de convertir trois éléments de la matrice en 0 pour trouver votre solution. 
Prendre alors R1=[1,1/3,-1/3,3] et R3=[0,0,1,1]. 
Prendre le R2=[0,1,0,4] inchangé et R3=[0,0,1,1]. 
1002 0104 0011 
Étant donné que chaque équation se simplifie en un véritable énoncé mathématique, vos solutions sont correctes. Si l`une des solutions n`est pas correcte, veuillez vérifier à nouveau votre travail et rechercher d`éventuelles erreurs. Certaines erreurs courantes se produisent lorsque vous vous débarrassez des signes moins en cours de route ou lorsque vous confondez la multiplication et l`addition de fractions. 
Résoudre des matrices
Teneur
Une matrice est un moyen très utile de représenter des nombres sous forme de bloc, que vous pouvez ensuite utiliser pour résoudre un système d`équations linéaires. Si vous n`avez que deux variables, vous utiliserez probablement une méthode différente. Lisez à ce sujet dans Résoudre un système d`équations pour des exemples de ces autres méthodes. Mais si vous avez trois variables ou plus, une matrice est idéale. En utilisant des combinaisons répétées de multiplication et d`addition, vous pouvez systématiquement arriver à une solution.
Pas
Partie 1 sur 4: Élaboration de la matrice
1. Vérifiez que vous disposez de suffisamment de données. Pour obtenir une solution unique pour chaque variable dans un système linéaire à l`aide d`une matrice, vous devez avoir autant d`équations que le nombre de variables que vous essayez de résoudre. Par exemple : avec les variables x, y et z vous avez besoin de trois équations. Si vous avez quatre variables, vous avez besoin de quatre équations.
- Si vous avez moins d`équations que le nombre de variables, vous apprendrez certaines limites des variables (telles que x = 3y et y = 2z), mais vous ne pourrez pas obtenir une solution précise. Pour cet article, nous travaillerons uniquement vers une solution unique.
2. Écrivez vos équations sous forme standard. Avant de pouvoir verser les données des équations dans une forme matricielle, vous devez d`abord écrire chaque équation sous forme standard. La forme standard d`une équation linéaire est Ax+By+Cz=D, où les lettres majuscules sont les coefficients (chiffres) et le dernier chiffre (dans cet exemple, le D) est à droite du signe égal.
3. Placer les nombres du système d`équations dans une matrice. Une matrice est un groupe de nombres, disposés dans une sorte de tableau, avec lequel nous allons travailler pour résoudre le système. Il contient essentiellement les mêmes données que les équations elles-mêmes, mais dans un format plus simple. Pour créer la matrice de vos équations sous forme standard, copiez simplement les coefficients et le résultat de chaque équation dans une seule ligne et empilez ces lignes les unes sur les autres.
4. Dessinez un grand crochet autour de toute votre matrice. Par convention, une matrice est désignée par une paire de crochets, [ ], autour de tout le bloc de nombres. Les parenthèses n`affectent en rien la solution, mais elles indiquent que vous travaillez avec des matrices. Une matrice peut être constituée de n`importe quel nombre de lignes et de colonnes. Dans cet article, nous utiliserons des parenthèses autour d`une rangée de termes pour indiquer qu`ils appartiennent ensemble.
5. Utilisation du symbolisme commun. Lorsque vous travaillez avec des matrices, il est courant de se référer aux lignes avec l`abréviation R et aux colonnes avec l`abréviation C. Vous pouvez utiliser des chiffres avec ces lettres pour désigner une ligne ou une colonne spécifique. Par exemple, pour indiquer la ligne 1 d`une matrice, vous pouvez écrire R1. La ligne 2 devient alors R2.
Partie 2 sur 4: Apprendre les opérations de résolution d`un système avec une matrice
1. Comprendre la forme de la matrice de solution. Avant de commencer à résoudre votre système d`équations, vous devez comprendre ce que vous allez faire avec la matrice. À ce stade, vous avez une matrice qui ressemble à ceci :
- 31-19
- 2-21-3
- 1117
- Vous travaillez avec un certain nombre d`opérations de base pour créer la « matrice de solution ». La matrice de solution ressemblera à ceci :
- 100x
- 010y
- 001z
- Notez que la matrice se compose de 1 sur une ligne diagonale avec des 0 dans tous les autres espaces, à l`exception de la quatrième colonne. Les nombres de la quatrième colonne sont les solutions des variables x, y et z.
2. Utiliser la multiplication scalaire. Le premier outil à votre disposition pour résoudre un système à l`aide d`une matrice est la multiplication scalaire. C`est simplement un terme qui signifie que vous multipliez les éléments d`une ligne de la matrice par un nombre constant (pas une variable). Lorsque vous utilisez la multiplication scalaire, gardez à l`esprit que vous devez multiplier chaque terme de la séquence entière par le nombre que vous sélectionnez. Si vous oubliez le premier terme et multipliez simplement, vous obtiendrez une mauvaise solution. Cependant, vous n`êtes pas obligé de multiplier toute la matrice en même temps. Avec la multiplication scalaire, vous ne travaillez que sur une ligne à la fois.
3. Utiliser l`ajout ou la soustraction de lignes. Le deuxième outil que vous pouvez utiliser est d`ajouter ou de soustraire deux lignes de la matrice. Pour créer les termes 0 dans votre matrice de solution, vous devez ajouter ou soustraire des nombres pour obtenir le 0. Par exemple, si R1 d`une matrice est [1,4,3,2] et R2 est [1,3,5,8], alors vous pouvez soustraire la première ligne de la deuxième ligne et créer une nouvelle ligne [ 0,-1, 2,6], car 1-1=0 (première colonne), 3-4=-1 (deuxième colonne), 5-3=2 (troisième colonne) et 8-2=6 (quatrième colonne). Lorsque vous effectuez une addition ou une soustraction de ligne, réécrivez votre nouveau résultat au lieu de la ligne avec laquelle vous avez commencé. Dans ce cas, nous supprimons la ligne 2 et insérons la nouvelle ligne [0,-1,2,6].
4. Combinez l`addition de lignes et la multiplication scalaire en une seule étape. Vous ne pouvez pas vous attendre à ce que les termes correspondent toujours, vous pouvez donc utiliser une simple addition ou soustraction pour créer des 0 dans votre matrice. Le plus souvent, vous devrez ajouter (ou soustraire) un multiple d`une autre ligne. Pour ce faire, effectuez d`abord la multiplication scalaire, puis ajoutez ce résultat à la ligne cible que vous essayez de modifier.
5. Copiez les lignes qui restent inchangées pendant que vous travaillez. Au fur et à mesure que vous travaillez sur la matrice, vous modifierez une seule ligne à la fois, soit par multiplication scalaire, addition de lignes ou soustraction de lignes, soit par une combinaison d`étapes. Lorsque vous modifiez une ligne, assurez-vous de copier les autres lignes de votre matrice dans leur forme d`origine.
6. Travaillez d`abord de haut en bas. Pour résoudre le système, vous travaillez selon un modèle très organisé, essentiellement "résolvant" un terme de la matrice à la fois. L`ordre d`un tableau à trois variables ressemblera à ceci :
sept. Travailler de bas en haut. À ce stade, si vous avez bien suivi les étapes, vous êtes à mi-chemin de la solution. Vous devez avoir la ligne diagonale des 1, avec des 0 en dessous. Les chiffres de la quatrième colonne n`ont pas d`importance à ce stade. Maintenant, vous reprenez comme suit :
8. Vérifiez si vous avez créé la matrice de solution. Si votre travail est correct, vous avez créé la matrice de solution avec des 1 dans une ligne diagonale de R1C1, R2C2, R3C3 et des 0 dans les autres positions des trois premières colonnes. Les nombres dans la quatrième colonne sont les solutions pour votre système linéaire.
Partie 3 sur 4: Assembler les étapes pour résoudre le système
1. Commencez avec un exemple de système d`équations linéaires. Pour pratiquer ces étapes, commençons par le système que nous avons utilisé précédemment : 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3 et x+y+z=7. Si vous écrivez ceci dans une matrice, vous avez R1= [3.1,-1,9], R2=[2,-2,1,-3] et R3=[1,1,1,7].
2. Créer un 1 en première position R1C1. Notez que R1 commence actuellement par un 3. Vous devez le changer en 1. Vous pouvez le faire par multiplication scalaire, en multipliant les quatre termes de R1 par 1/3. En raccourci, vous pouvez écrire comme R1 * 1/3. Cela donne un nouveau résultat pour R1 si R1=[1,1/3,-1/3,3]. Adopter R2 et R2, inchangés, si R2=[2,-2,1,-3] et R3=[1,1,1,7].
3. Créez un 0 dans la deuxième ligne, première colonne (R2C1). A ce stade R2=[2,-2,1,-3]. Pour se rapprocher de la matrice de solution, vous devez changer le premier terme de 2 à 0. Vous pouvez le faire en soustrayant deux fois la valeur de R1, puisque R1 commence par un 1. En abrégé l`opération est R2-2*R1. N`oubliez pas que vous ne modifiez pas R1, travaillez simplement avec. Donc d`abord copier R1 si R1=[1,1/3,-1/3,3]. Si vous doublez ensuite chaque terme de R1, vous obtenez 2*R1=[2,2/3,-2/3,6]. Enfin, soustrayez ce résultat du R2 d`origine pour obtenir votre nouveau R2. En travaillant terme par terme, cette soustraction devient (2-2), (-2-2/3), (1-(-2/3), (-3-6). Nous simplifions cela au nouveau R2=[0,-8/3,5/3,-9]. Notez que le premier terme est 0 (quel que soit votre objectif).
4. Créez un 1 dans la deuxième ligne, deuxième colonne (R2C2). Pour continuer à former la diagonale des 1, vous devez convertir le deuxième terme -8/3 en 1. Pour ce faire, multipliez la ligne entière par l`inverse de ce nombre (-3/8). Symboliquement, cette étape est R2*(-3/8). La deuxième ligne résultante est R2=[0.1,-5/8.27/8].
5. Créez un 0 dans la troisième ligne, première colonne (R3C1). Votre focus se déplace maintenant vers la troisième ligne, R3=[1,1,1,7]. Pour faire un 0 dans la première position, vous devez soustraire un 1 du 1 actuellement dans cette position. Si vous levez les yeux, il y a un 1 en première position de R1. Il vous suffit donc de soustraire R1 de R3 pour obtenir le résultat dont vous avez besoin. En travaillant terme par terme cela devient (1-1), (1-1/3), (1-(-1/3)), (7-3). Ces quatre mini-problèmes peuvent ensuite être simplifiés au nouveau R3=[0.2/3.4/3.4].
6. Faire un 0 dans la troisième ligne, deuxième colonne (R3C2). Cette valeur est actuellement 2/3, mais doit être convertie en 0. À première vue, il semble que vous puissiez soustraire deux fois les valeurs de R1, car la colonne correspondante de R1 contient un 1/3. Cependant, si vous doublez et soustrayez toutes les valeurs de R1, le 0 dans la première colonne de R3 change, ce que vous ne voulez pas. Ce serait un pas en arrière dans votre solution. Vous devez donc travailler avec une combinaison de R2. Si vous soustrayez 2/3 de R2, vous créez un 0 dans la deuxième colonne, sans modifier la première colonne. En abrégé, il s`agit de R3-2/3*R2. Les termes individuels deviennent (0-0), (2/3-2/3), (4/3-(-5/3*2/3)), (4-27/8*2/3). La simplification donne alors R3=[0,0,42/24.42/24].
sept. Créez un 1 dans la troisième ligne, troisième colonne (R3C3). C`est une simple multiplication avec l`inverse du nombre qu`il dit. La valeur actuelle est 42/24, vous pouvez donc multiplier par 24/42 pour obtenir la valeur souhaitée de 1. Notez que les deux premiers termes sont tous les deux 0, donc toute multiplication reste 0. La nouvelle valeur de R3=[0,0,1,1].
8. Créez un 0 dans la deuxième ligne, troisième colonne. R2 est actuellement [0.1,-5/8.27/8], avec une valeur de -5/8 dans la troisième colonne. Vous devez le transformer en 0. Cela signifie que vous devez effectuer une opération avec R3 qui consiste à ajouter 5/8. Puisque la troisième colonne correspondante de R3 est un 1, vous devez multiplier toutes les valeurs de R3 par 5/8 et ajouter le résultat à R2. Bref c`est R2+5/8*R3. Terme par terme c`est R2=(0+0), (1+0), (-5/8+5/8), (27/8+5/8). Cela peut être simplifié en R2=[0,1,0,4].
9. Créez un 0 dans la première ligne, troisième colonne (R1C3). La première ligne est actuellement R1=[1.1/3,-1/3.3]. Vous devez convertir le -1/3 de la troisième colonne en 0, en utilisant une combinaison de R3. Vous ne voulez pas utiliser R2, car le 1 dans la deuxième colonne de R2, modifierait le R1 dans le mauvais sens. Donc vous multipliez R3*1/3 et ajoutez le résultat à R1. La notation pour cela est R1+1/3*R3. Le calcul terme par terme donne R1=(1+0), (1/3+0), (-1/3+1/3), (3+1/3). Vous pouvez simplifier cela en un nouveau R1=[1,1/3,0,10/3].
dix. Faire un 0 dans la première ligne, deuxième colonne (R1C2). Si tout est bien fait, cela devrait être la dernière étape. Vous devez convertir le 1/3 de la deuxième colonne en 0. Vous pouvez l`obtenir en multipliant et en soustrayant R2 * 1/3. Bref c`est R1-1/3*R2. Le résultat est R1=(1-0), (1/3-1/3), (0-0), (10/3-4/3). La simplification donne alors R1=[1,0,0,2].
11. Rechercher la matrice de solution. À ce stade, si tout se passait bien, vous auriez les trois lignes R1=[1,0,0,2], R2=[0,1,0,4] et R3=[0,0,1,1] dois avoir. Notez que si vous écrivez ceci sous forme de matrice de blocs avec les lignes les unes sur les autres, vous avez des 1 en diagonale avec des 0 plus loin, et vos solutions sont dans la quatrième colonne. La matrice de solution devrait ressembler à ceci :
12. Comprendre votre solution. Une fois que vous avez converti les équations linéaires en matrice, placez les coefficients x dans la première colonne, les coefficients y dans la deuxième colonne, les coefficients z dans la troisième colonne. Si vous souhaitez maintenant réécrire la matrice en équations, ces trois lignes de la matrice signifient en fait les trois équations 1x+0y+0z=2, 0x+1y+0z=4 et 0x+0y+1z=1. Puisque nous pouvons rayer les termes 0 et ne pas avoir à écrire les coefficients 1, ces trois équations simplifient la solution, x=2, y=4 et z=1. Ceci est la solution de votre système d`équations linéaires.
Partie 4 sur 4: Vérification de votre solution
1. Traiter les solutions de chaque variable dans chaque équation. C`est toujours une bonne idée de vérifier si votre solution est réellement correcte. Pour ce faire, testez vos résultats dans les équations d`origine.
- Les équations originales de ce problème étaient : 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3 et x+y+z=7. Lorsque vous remplacez les variables par leurs valeurs que vous avez trouvées, vous obtenez 3*2+4-1=9, 2*2-2*4+1=-3 et 2+4+1=7.
2. Simplifier n`importe quelle équation. Effectuer les opérations dans chaque équation selon les règles de base des opérations. La première équation se simplifie en 6+4-1=9, ou 9=9. La deuxième équation peut être simplifiée en 4-8+1=-3, ou -3=-3. La dernière équation est simplement 7=7.
3. Écrivez vos solutions finales. Pour ce problème donné la solution finale est x=2, y=4 et z=1.
Des astuces
- Si votre système d`équations est très complexe, avec de nombreuses variables, vous pouvez utiliser une calculatrice graphique au lieu de faire le travail à la main. Pour plus d`informations à ce sujet, vous pouvez également consulter wikiHow.
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