Trouver chaque terme d'une séquence arithmétique

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Une suite arithmétique est une suite de nombres qui, consécutivement, diffèrent les uns des autres par une valeur constante. Par exemple, la suite de nombres pairs, $0, 2, 4, 6, 8$ $0,2,4,6,8$ … est une suite arithmétique, car la différence d`un nombre de la suite par rapport au suivant est toujours égale à deux. Si vous savez que vous avez affaire à une suite arithmétique, on vous demandera peut-être de déterminer le nombre suivant dans la suite. Vous pouvez également être invité à remplir un numéro manquant dans la séquence. Et éventuellement, vous voudrez peut-être savoir comment déterminer le 100e nombre sans réellement écrire les cent nombres sur le. Quelques étapes simples peuvent vous aider dans chacune de ces tâches.

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Méthode 1 sur 4: Trouver le prochain nombre dans une séquence arithmétique

Image intitulée Trouver n`importe quel terme d`une séquence arithmétique Étape 1

1. Trouver le facteur de différence de la série. Lorsqu`on vous présente une collection de nombres, on peut dire qu`il s`agit d`une suite arithmétique, ou vous devrez l`inventer vous-même. Au moins la première étape est la même. Sélectionnez les deux premiers numéros consécutifs de l`ensemble. Soustraire le premier nombre du deuxième nombre. Le résultat est le facteur de différence de votre série.

Par exemple, supposons que vous ayez la collection $1, 4, sept, dix, 13$ $1,4,7,10,13$ .... Fait le alors $4 - 1$ $4-1$ pour obtenir le facteur de différence 3.
Supposons que vous ayez une collection de nombres décroissants, tels que $25, 21, 17, 13$ $25,21,17,13$ ... Ensuite, vous soustrayez toujours le premier nombre du second pour trouver la différence. Dans ce cas, cela donne $21 - 25 = - 4$ $21-25=-4$ . Le résultat négatif signifie que votre collection diminue de gauche à droite. Assurez-vous toujours que le signe de la différence correspond à la direction dans laquelle les chiffres semblent aller.

Image intitulée Trouver n`importe quel terme d`une séquence arithmétique Étape 2

2. Vérifiez si le facteur de différence est constant. La détermination du facteur de différence pour les deux premiers nombres uniquement ne garantit pas que l`ensemble est une séquence arithmétique. Vous devez être sûr que la différence est maintenue de manière cohérente tout au long de la série. Vérifiez la différence en soustrayant deux nombres consécutifs dans l`ensemble. Si le résultat est cohérent pour une ou deux autres paires de nombres, vous avez probablement affaire à une suite arithmétique.

Nous continuons à travailler avec le même exemple,

1, 4, sept, dix, 13

$1,4,7,10,13$ Choisissez le deuxième et le troisième numéro de l`ensemble. faire

sept - 4

$7-4$ et vous verrez que la différence est toujours égale à 3. Pour le confirmer, choisissez un autre exemple et faites

13 - dix

$13-10$ pour découvrir que la différence est constamment 3. Vous pouvez maintenant être raisonnablement sûr que vous avez affaire à une suite arithmétique.

Il est possible qu`un ensemble de nombres semble avoir les propriétés d`une séquence arithmétique basée sur les premiers nombres, puis s`en écarter. Par exemple, prenons l`ensemble

1, 2, 3, 6, 9

$1,2,3,6,9$ ... La différence entre le premier et le deuxième nombre est de 1 et la différence entre le deuxième et le troisième nombre est également de 1. Cependant, la différence entre le troisième et le quatrième nombre est de 3. Puisque la différence ne s`applique pas à tous les nombres de l`ensemble, ce n`est pas une séquence arithmétique.

Image intitulée Trouver n`importe quel terme d`une séquence arithmétique Étape 3

3. Ajouter le facteur de différence au dernier nombre. Il est facile de trouver le prochain nombre dans une séquence arithmétique lorsque vous connaissez le facteur de différence. Ajoutez simplement le facteur de différence au dernier numéro de l`ensemble et vous obtenez le numéro suivant.

Par exemple, dans l`exemple de

1, 4, sept, dix, 13

$1,4,7,10,13$ ..., vous pouvez déterminer le nombre suivant dans l`ensemble en ajoutant le facteur de différence 3 au dernier nombre donné. faire

13 + 3

$13+3$ et vous obtenez 16, qui est le prochain nombre. Vous pouvez continuer à ajouter 3 pour rendre la séquence aussi longue que vous le souhaitez. Par exemple, la séquence peut être

1, 4, sept, dix, 13, 16, 19, 22, 25

$1,4,7,10,13,16,19,22,25$ ... Vous pouvez continuer indéfiniment.

Méthode 2 sur 4: Recherchez un numéro manquant

Image intitulée Trouver n`importe quel terme d`une séquence arithmétique Étape 4

1. Confirmez que vous commencez avec une séquence arithmétique. Dans certains cas, vous avez affaire à une collection de nombres avec un nombre manquant au milieu. Comme mentionné précédemment, commencez par vérifier que votre collection est une séquence arithmétique. Sélectionnez deux nombres consécutifs et trouvez la différence entre eux. Vérifiez ensuite ceci contre deux autres nombres consécutifs dans la séquence. Si la différence est la même, vous pouvez supposer que vous avez affaire à une séquence arithmétique, et vous pouvez continuer.

Par exemple, supposons que vous ayez la séquence $0, 4$ $0,4$ ,___, $12, 16, 20$ $12,16,20$ ... Commencer par la déduction $4 - 0$ $4-0$ et vous obtenez 4 comme différence. Comparez ceci à deux autres nombres consécutifs, tels que $16 - 12$ $16-12$ . La différence est encore 4. Vous pouvez maintenant continuer.

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2. Ajouter le facteur de différence au nombre pour l`espace vide. Cela équivaut à ajouter un nombre à la fin d`une séquence. Trouvez le nombre juste avant l`espace vide dans votre séquence. C`est le `dernier` nombre connu. Ajoutez la différence trouvée à ce nombre, et vous obtenez le nombre qui devrait tenir à la place de l`inconnu.

Dans notre exemple,

0, 4

$0,4$ ,____,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., l`inconnue est égale à 4 et la différence de cette série est également de 4. Donc ça s`additionne

4 + 4

$4+4$ et ainsi vous obtenez 8, le nombre qui peut être rempli pour l`inconnu.

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3. Soustraire le facteur de différence du nombre après l`inconnu. Pour être sûr d`avoir trouvé la bonne réponse, vérifiez à nouveau dans l`autre sens. Une séquence arithmétique doit systématiquement aller dans une certaine direction. Si vous allez de gauche à droite et continuez à ajouter 4, vous pouvez faire l`inverse de droite à gauche et soustraire 4 au nombre précédent.

Dans l`exemple,

0, 4

$0,4$ ,___,

12, 16, 20

$12,16,20$ …, le nombre immédiatement après l`inconnu est égal à 12. Soustrayez le facteur de différence 4 de ce nombre et vous obtenez

12 - 4 = 8

$12-4=8$ . Le résultat 8 peut alors être rempli pour l`inconnu.

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4. Comparez vos résultats. Les deux résultats que vous obtenez en ajoutant (de gauche à droite) ou en soustrayant (de droite à gauche) doivent correspondre. Si oui, alors vous avez trouvé le numéro manquant. S`ils ne correspondent pas, vous devez vérifier à nouveau votre travail. Peut-être n`avez-vous pas affaire à une suite arithmétique pure.

Dans l`exemple, les deux résultats de

4 + 4

$4+4$ et

12 - 4

$12-4$ les deux répondent 8. Donc le nombre manquant dans cette suite arithmétique est 8. La série complète est

0, 4, 8, 12, 16, 20

$0,4, 8, 12, 16, 20$ ...

Méthode 3 sur 4: Déterminer un terme arbitraire d`une séquence arithmétique

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1. Trouver le premier numéro de la série. Toutes les séquences ne commencent pas par les chiffres 0 ou 1. Regardez l`ensemble de nombres que vous avez et trouvez le premier nombre. C`est votre point de départ, qui peut être identifié avec des variables, telles que a(1).

Il est courant que les suites arithmétiques fonctionnent avec la variable a(1), qui représente le premier nombre de la suite. Vous pouvez bien sûr choisir n`importe quelle variable, mais le résultat devrait être le même.
Par exemple, étant donné la série $3, 8, 13, 18$ $3,8,13,18$ …, est le premier nombre $3$ $3$ , qui peut être noté mathématiquement comme a(1).

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2. Déterminer le facteur de différence comme d. Déterminer le facteur de différence pour la série comme indiqué ci-dessus. Dans cet exemple, le facteur de différence est égal à

8 - 3

$8-3$ , et donc 5. Lors de la vérification par rapport aux autres nombres de la séquence, le même résultat est obtenu. On note ce facteur de différence avec la variable mathématique d.

Image intitulée Trouver n`importe quel terme d`une séquence arithmétique Étape 10

3. Utiliser la formule explicite. Une formule explicite est une équation mathématique que vous pouvez utiliser pour trouver n`importe quel nombre dans une séquence arithmétique sans avoir à écrire la séquence entière. La formule explicite d`une suite mathématique est

une (m) = une (1) + (m - 1) ré

$a(n)=a(1)+(n-1)d$ .

Le nombre a(n) peut être lu comme « le nième nombre de a », où n est le nombre dans la séquence que vous voulez trouver et a(n) est la valeur réelle de ce nombre. Par exemple, si l`on vous demande de trouver le centième élément d`une suite arithmétique, n est égal à 100. Notez que n est égal à 100, dans cet exemple, mais a(n) est la valeur du centième nombre, pas le nombre 100 lui-même.

Image intitulée Trouver n`importe quel terme d`une séquence arithmétique Étape 11

4. Remplissez tous les détails pour résoudre le problème. En utilisant cette formule explicite pour votre séquence, remplissez toutes les données dont vous disposez pour déterminer le nombre dont vous avez besoin.

Par exemple, dans cet exemple,

3, 8, 13, 18

$3,8,13,18$ …, on sait que a(1), le premier nombre, est égal à 3 et que le facteur de différence d est égal à 5. Supposons qu`on vous demande de trouver le centième nombre dans cette séquence. Alors n=100 et (n-1)=99. La formule explicite complète, avec les données saisies, est alors

une (100) = 3 + (99) (5)

$a(100)=3+(99)(5)$ . Cela peut être simplifié à 498, le centième nombre de cette série.

Méthode 4 sur 4: Utilisez la formule explicite pour obtenir plus de données

Image intitulée Trouver n`importe quel terme d`une séquence arithmétique Étape 12

1. Réorganiser la formule explicite pour trouver d`autres variables. Utilisez la formule explicite et une algèbre simple pour trouver diverses informations sur la suite arithmétique. Dans sa forme originale (

une (m) = une (1) + (m - 1) ré

$a(n)=a(1)+(n-1)d$ ), est la formule explicite conçue pour résoudre un_m et vous donne le nième numéro de la série. Cependant, vous pouvez manipuler cette formule mathématiquement pour résoudre également d`autres variables.

Par exemple, supposons que vous connaissiez la fin d`une séquence de nombres, mais que vous vouliez connaître le début de la séquence. Réorganisez ensuite la formule pour obtenir $une (1) = (m - 1) ré - une (m) .$ $a(1)=(n-1)d-a(n)$
Si vous connaissez le point de départ et le point de fin d`une séquence arithmétique, mais que vous voulez savoir combien de nombres il y a dans l`ensemble, vous pouvez utiliser la formule explicite pour résoudre n. Cela devient alors $m = une (m) - une (1) ré + 1$ $n={frac{a(n)-a(1)}{d}}+1$ .
Si vous voulez d`abord passer en revue les règles de base de l`algèbre dont vous avez besoin pour pouvoir le calculer, lisez plus sur l`algèbre ou équations algébriques simples.

Image intitulée Trouver n`importe quel terme d`une séquence arithmétique Étape 13

2. Trouver le premier nombre d`une série. Vous savez peut-être que le 50e nombre d`une suite arithmétique est égal à 300 et que les nombres augmentent de 7 (le facteur de différence), mais vous aimeriez savoir quel était le premier nombre de la suite. Utilisez la formule explicite modifiée pour résoudre a1 pour trouver votre réponse.

Utiliser l`équation

une (1) = (m - 1) ré - une (m)

$a(1)=(n-1)d-a(n)$ et remplissez toutes les informations dont vous disposez. Puisque vous savez que le 50e nombre est 300, vous savez aussi que n=50, n-1=49 et a(n)=300. De plus, le facteur de différence d est également donné, qui est de 7. Alors la formule devient

une (1) = (49) (sept) - 300

$a(1)=(49)(7)-300$ . Ceci est en cours d`élaboration

343 - 300 = 43

$343-300=43$ . La séquence que vous avez commencée à 43 et a un facteur de différence de 7. La séquence ressemble donc à 43,50,57,64,71,78…293,300.

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3. Déterminer la longueur d`une séquence. Supposons que vous sachiez comment la séquence commence et se termine, mais que vous ayez besoin de déterminer sa durée. Ensuite, utilisez la formule modifiée

m = une (m) - une (1) ré + 1

$n={frac{a(n)-a(1)}{d}}+1$ .

Supposons que vous sachiez qu`une suite arithmétique donnée commence par 100 et totalise 13. De plus, il est également donné que le dernier numéro est 2856. Pour trouver la longueur de la séquence, utilisez les nombres a1=100, d=13 et a(n)=2856. Appliquez ces nombres à la formule pour obtenir

m = 2856 - 100 13 + 1

$n={frac{2856-100}{13}}+1$ . Une fois que vous aurez réglé cela, vous obtiendrez

m = \frac{2756}{13} + 1

$n={frac{2756}{13}}+1$ , qui est égal à 212+1, qui est encore 213. Il y a 213 nombres dans cette séquence.

Cet exemple ressemble à 100, 113, 126, 139… 2843, 2856.

Mises en garde

Il existe différents types de suites de nombres. Ne supposez pas qu`un ensemble de nombres est une suite arithmétique. Vérifiez toujours deux paires de nombres, de préférence trois ou quatre, pour trouver le facteur de différence pour l`ensemble de nombres.