Comment calculer l'aire d'un pentagone

Teneur

Pas
Des astuces

Un pentagone est un polygone à cinq côtés droits. Presque tous les problèmes que vous rencontrerez en cours de mathématiques impliqueront des pentagones réguliers, avec cinq côtés égaux. Il existe deux manières courantes de calculer la surface, en fonction de la quantité d`informations dont vous disposez.

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Méthode 1 sur 3: Détermination de la zone à l`aide des côtés et de l`apothème

Image intitulée Trouver l`aire d`un pentagone régulier Étape 1

1. Commencez par la longueur du côté et l`apothème. Cette méthode fonctionne pour les pentagones réguliers, avec cinq côtés égaux. En plus de la longueur du côté, vous avez besoin de "l`apothème" du pentagone. L`apothème est la ligne allant du centre du pentagone à un côté, qui coupe le côté perpendiculairement (c`est-à-dire à un angle de 90º).

Ne pas confondre l`apothème avec le rayon d`un polygone, car il coupe un angle (sommet) au lieu d`un point au milieu du côté. Si vous ne connaissez que la longueur d`un côté et le rayon, passez à la méthode suivante.
Comme exemple, nous utilisons un pentagone de côté 3 et apothème 2.

Image intitulée Trouver l`aire d`un Pentagone régulier Étape 2

2. Divisez le pentagone en cinq triangles. Tracez cinq lignes à partir du centre du pentagone, chacune menant à un sommet (coin). Vous avez maintenant cinq triangles.

Image intitulée Trouver l`aire d`un Pentagone régulier Étape 3

3. Calculer l`aire d`un triangle. Tout triangle a un base égal au côté du pentagone. Il a également un la taille qui est égal à l`apothème. (Rappelez-vous, la hauteur d`un triangle est la longueur du côté qui est perpendiculaire à sa base et s`étend jusqu`à un sommet). Pour calculer l`aire d`un triangle, vous utilisez ½ x base x hauteur.

Dans notre exemple, l`aire du triangle=½ x 3 x 2=3.

Image intitulée Trouver l`aire d`un pentagone régulier Étape 4

4. Multiplier par cinq pour l`aire totale du pentagone. Nous avons divisé le pentagone en cinq triangles égaux. Pour calculer l`aire totale, multipliez l`aire d`un triangle par cinq.

Dans notre exemple, A(total du pentagone)=5 x A(triangle)=5 x 3=15.

Méthode 2 sur 3: Détermination de la zone à l`aide de la longueur d`un côté

Image intitulée Trouver l`aire d`un pentagone régulier Étape 5

1. Commencez par la longueur d`un côté. Cette méthode ne fonctionne que pour les pentagones réguliers, qui ont cinq côtés de longueur égale.

Dans cet exemple, nous utilisons un pentagone de longueur sept pour chaque côté.

Image intitulée Trouver l`aire d`un pentagone régulier Étape 6

2. Divisez le pentagone en cinq triangles. Tracez une ligne du centre du pentagone à un sommet. Répétez pour chaque sommet. Vous avez maintenant cinq triangles, chacun de la même taille.

Image intitulée Trouver l`aire d`un Pentagone régulier Étape 7

3. Diviser un triangle en deux. Tracez une ligne du centre du pentagone à la base d`un triangle. Cette ligne doit couper la base à angle droit (90º), ce qui divise le triangle en deux triangles égaux et plus petits.

Image intitulée Trouver l`aire d`un Pentagone régulier Étape 8

4. Étiquetez l`un des plus petits triangles. On peut déjà nommer un côté et un angle du plus petit triangle :

le base du triangle est ½ fois le côté du pentagone. Dans notre exemple, c`est ½ x 7=3,5 unités.

le coin au milieu du pentagone est toujours 36º. (En supposant 360º pour un cercle complet, vous pouvez le diviser en 10 triangles plus petits. 360 ÷ 10=36, donc l`angle d`un tel triangle est de 36º).

Image intitulée Trouver l`aire d`un Pentagone régulier Étape 9

5. Calculer la hauteur du triangle. le la taille de ce triangle est le côté perpendiculaire au côté du pentagone menant au centre. Nous utilisons une trigonométrie simple pour déterminer la longueur de ce côté :

Dans un triangle rectangle, le est tangente d`un angle égal à la longueur du côté opposé divisé par la longueur du côté adjacent.

Le côté opposé à l`angle de 36º est la base du triangle (la moitié du côté du pentagone). Le côté adjacent de l`angle de 36º est la hauteur du triangle.

bronzage(36º)=opposé / adjacent

Dans notre exemple, tan(36º)=3,5 / hauteur

hauteur x bronzage (36º)=3,5

hauteur=3,5 / bronzage (36º)

hauteur = (environ) 4.8.

Image intitulée Trouver l`aire d`un Pentagone régulier Étape 10

6.Calculer l`aire du triangle. L`aire d`un triangle est égale à ½ base x hauteur. (A=½bh.) Maintenant que vous connaissez la hauteur, entrez ces valeurs pour déterminer la hauteur de votre petit triangle.

Dans notre exemple, l`aire d`un des petits triangles est=½bh=½(3,5)(4,8)=8,4.

Image intitulée Trouver l`aire d`un Pentagone régulier Étape 11

sept. Multipliez pour trouver l`aire du pentagone. L`un de ces plus petits triangles couvre 1/10 de la surface du pentagone. Pour l`aire totale, multipliez l`aire du plus petit triangle par 10.

Dans notre exemple, l`aire de tout le pentagone=8,4 x 10=84.

Méthode 3 sur 3: Utilisation d`une formule

Image intitulée Trouver l`aire d`un Pentagone régulier Étape 12

1. Utiliser le contour et l`apothème. L`apothème est une ligne partant du centre d`un pentagone qui coupe un côté à angle droit. Si la longueur est donnée, alors vous pouvez utiliser cette formule simple.

Aire d`un pentagone régulier=papa / 2, où p= la circonférence et une= l`apothème.
Si vous ne connaissez pas la circonférence, calculez-la en utilisant la longueur du côté : p=5s, où s est la longueur du côté.

Image intitulée Trouver l`aire d`un Pentagone régulier Étape 13

2. Utiliser la longueur du côté. Si vous ne connaissez que la longueur des côtés, utilisez la formule suivante :

Aire d`un pentagone régulier=(5s ) / (4tan(36º)), où s= longueur d`un côté.

bronzage(36º)=√(5-2√5). Si votre calculatrice n`a pas de fonction `tan`, utilisez la formule pour la zone : Area=(5s) / (4√(5-2√5)).

Image intitulée Trouver l`aire d`un Pentagone régulier Étape 14

3. Choisissez une formule qui utilise uniquement le rayon. Vous pouvez même trouver la zone si vous ne connaissez que le rayon. Utilisez la formule suivante :

L`aire d`un pentagone régulier=(5/2)rpéché (72º), où r le rayon est.

Des astuces

Les pentagones irréguliers ou les pentagones à côtés inégaux sont plus difficiles à étudier. La meilleure approche consiste généralement à diviser le pentagone en triangles et à additionner les aires de tous les triangles. Vous devrez peut-être également dessiner une forme plus grande autour du pentagone, calculer son aire, puis soustraire l`aire de l`espace supplémentaire.
Si possible, utilisez à la fois une méthode géométrique et une formule, et comparez les résultats pour vérifier votre réponse. Les réponses peuvent différer légèrement si vous remplissez la formule complètement en une seule fois (car alors les étapes que vous complétez manquent), mais elles devraient être très proches les unes des autres.
Les exemples donnés ici utilisent des valeurs arrondies pour faciliter leurs calculs. Si vous avez un vrai polygone avec les longueurs de côté données, vous obtiendrez des résultats légèrement différents pour les autres longueurs et surfaces.
Les formules sont dérivées de méthodes géométriques, similaires à celles décrites ici. Essayez de trouver vous-même comment les distraire. La formule du rayon est plus difficile à dériver que les autres (indice : vous avez besoin de l`identité à double angle).