Comment calculer l'aire d'un triangle isocèle (avec des images)

Teneur

Pas
- Méthode 1 sur 2: Détermination de la zone en utilisant les longueurs de chaque côté
- Méthode 2 sur 2: Utilisation de la trigonométrie
Des astuces

Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. Ces deux côtés égaux ont toujours le même angle avec la base (le troisième côté) et se rejoignent directement au-dessus du centre de la base. Vous pouvez tester cela par vous-même avec une règle et deux crayons de longueur égale : si vous essayez d`incliner le triangle dans une direction, les extrémités des crayons ne se rencontreront pas. Grâce à ces propriétés particulières du triangle isocèle, l`aire peut être calculée avec seulement quelques données.

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Méthode 1 sur 2: Détermination de la zone en utilisant les longueurs de chaque côté

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 1

1. Prendre l`aire d`un parallélogramme. Les carrés et les rectangles sont des parallélogrammes, comme toute forme à quatre côtés où deux paires de côtés sont parallèles l`un à l`autre. Tous les parallélogrammes ont une formule d`aire simple : l`aire est égale à la base multipliée par la hauteur, ou A = bh. Si vous placez un parallélogramme imaginaire debout sur une surface horizontale, la base est la longueur du côté sur lequel se trouve la figure. La hauteur est la distance entre la base et le point le plus élevé (comme on peut s`y attendre); c`est-à-dire la distance entre la base et le côté opposé. Mesurez toujours la hauteur à angle droit (90 degrés) par rapport à la base.

Pour les carrés et les rectangles, la hauteur est égale à la longueur d`un côté vertical, puisque ces côtés sont perpendiculaires au sol.

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 2

2. Comparer des triangles et des parallélogrammes. Il existe une relation simple entre ces deux formes. Couper un parallélogramme en deux le long de la diagonale le divise en deux triangles égaux. De même, vous pouvez joindre deux triangles identiques pour former un parallélogramme. Cela signifie que l`aire d`un triangle peut s`écrire sous la forme A = bh, exactement la moitié de la taille d`un parallélogramme correspondant.

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 3

3. Trouver la base du triangle isocèle. Vous avez maintenant la formule, mais que sont exactement la "base" et la "hauteur" d`un triangle isocèle? La base est la partie facile : il suffit de prendre le troisième côté inégal du triangle isocèle.

Par exemple, si un triangle isocèle a des côtés de 5 cm, 5 cm et 6 cm, alors le côté de 6 cm est la base.

Si un triangle a trois côtés égaux (et est donc équilatéral), alors vous pouvez choisir n`importe quel côté comme base. Un triangle équilatéral est un type particulier de triangle isocèle, mais vous pouvez trouver son aire de la même manière.

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 4

4. Tracez une ligne entre la base et le sommet opposé. Assurez-vous que la ligne touche la base à angle droit. La longueur de cette ligne est la hauteur du triangle et est donc étiquetée h. Une fois que vous obtenez la valeur de h calculé, vous pouvez déterminer la zone.

Dans un triangle isocèle, cette ligne touche toujours la base en son centre exact.

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 5

5. Voir la moitié du triangle isocèle. Notez que l`altitude divise le triangle isocèle en deux triangles rectangles identiques. Regardez l`un d`eux et indiquez les trois côtés :

L`un des petits côtés est égal à la moitié de la base :

\frac{b}{2}

${frac{b}{2}}$ .

L`autre côté court est la hauteur h.

L`hypoténuse (hypoténuse) du triangle rectangle est l`un des deux côtés égaux du triangle isocèle. Allons-y s à mentionner.

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 6

6.Utiliser le théorème de Pythagore. Si vous connaissez les deux côtés d`un triangle rectangle et que vous voulez trouver le troisième, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore : (côté 1) + (côté 2) = (hypoténuse) Remplacez les variables que nous utilisons dans ce problème et vous obtenez

(\frac{b}{2})^{2} + h^{2} = s^{2}

$({frac{b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$ .

Vous avez probablement appris le théorème de Pythagore si

une 2 + b^{2} = c^{2}

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Écrire cela comme « côtés » et « hypoténuse » vous évite de les confondre avec les variables du triangle.

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 7

sept. Résoudre pour h. N`oubliez pas que vous avez la formule de surface b et h utilisé, mais que vous ne connaissez pas la valeur de h ne sais pas encore. Réécrire la formule h résoudre:

(\frac{b}{2})^{2} + h^{2} = s^{2}

$({frac{b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$

h 2 = s^{2} - (\frac{b}{2})^{2}

$h^{2}=s^{2}-({frac{b}{2}})^{2}$

h = \sqrt{(} s^{2} - (\frac{b}{2})^{2})

$h={sqrt(}s^{2}-({frac{b}{2}})^{2})$ .

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 8

8. Remplacez les valeurs de votre triangle par h Maintenant que vous connaissez cette formule, vous pouvez l`utiliser pour un triangle isocèle dont vous connaissez les côtés. Entrez simplement la longueur de la base pour b et la longueur de l`un des côtés égaux pour s, et calcule après h.

Par exemple, vous avez un triangle isocèle de côtés 5 cm, 5 cm et 6 cm. b = 6 et s = 5.

Utilisez ces valeurs dans votre formule :

h = \sqrt{(} s^{2} - (\frac{b}{2})^{2})

$h={sqrt(}s^{2}-({frac{b}{2}})^{2})$

h = \sqrt{(} 5^{2} - (\frac{6}{2})^{2})

$h={sqrt(}5^{2}-({frac{6}{2}})^{2})$

h = \sqrt{(} 25 - 3^{2})

$h={sqrt(}25-3^{2})$

h = \sqrt{(} 25 - 9)

$h={sqrt(}25-9)$

h = \sqrt{(} 16)

$h={sqrt(}16)$

h = 4

$h=4$ cm.

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 9

9. Utilisez les valeurs de base et de hauteur dans la formule de surface. Vous avez maintenant ce qu`il vous faut pour utiliser la formule du début de cette section : Aire = ½bh. Remplacez les valeurs de b et h dans cette formule et calculez la réponse. N`oubliez pas d`écrire votre réponse en unités carrées.

Pour continuer avec l`exemple : le triangle 5-5-6 a une base de 6 cm et une hauteur de 4 cm.

A = bh
A = ½(6cm)(4cm)
A = 12cm.

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 10

dix. Essayez un exemple plus difficile. La plupart des triangles isocèles sont plus difficiles à travailler que dans l`exemple précédent. La hauteur contient souvent une racine carrée qui ne peut pas être simplifiée en un entier. Si tel est le cas, laissez la hauteur comme racine carrée dans le forme la plus simple se tenir debout. Voici un exemple :

Quelle est l`aire d`un triangle de côtés 8 cm, 8 cm et 4 cm?

Le côté irrégulier est de 4 cm, et la base b.

La hauteur

h = \sqrt{8} 2 - (\frac{4}{2})^{2}

$h={sqrt{8^{2}-({frac{4}{2}})^{2}}}$

= \sqrt{64 - 4}

$={sqrt{64-4}}$

= \sqrt{60}

$={sqrt{60}}$

Simplifiez la racine carrée en factorisant :

h = \sqrt{60} = \sqrt{4 * 15} = \sqrt{4} \sqrt{15} = 2 \sqrt{15} .

$h={sqrt{60}}={sqrt{4*15}}={sqrt{4}}{sqrt{15}}=2{sqrt{15}}$

Surface

= \frac{1}{2} b h

$={frac{1}{2}}bh$

= \frac{1}{2} (4) (2 \sqrt{15})

$={frac{1}{2}}(4)(2{sqrt{15}})$

= 4 \sqrt{15}

$=4{sqrt{15}}$

Laissez cette réponse telle que notée ou utilisez une calculatrice pour une estimation décimale (environ 15,49 cm2).

Méthode 2 sur 2: Utilisation de la trigonométrie

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 11

1. Commencez par un côté et un coin. Si vous êtes familier avec la trigonométrie, alors vous pouvez trouver l`aire d`un triangle isocèle même si aucune des longueurs de ses côtés n`est connue. Voici un exemple de problème où seuls les éléments suivants sont connus :

La durée s des deux côtés égaux est de 10 cm.
L`angle entre les deux côtés égaux est de 120 degrés.

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 12

2. Divisez le triangle isocèle en deux triangles rectangles. Tracez une ligne à partir du sommet entre les deux côtés égaux, coupant la base à angle droit. Vous avez maintenant deux triangles rectangles égaux.

Cette ligne divise θ parfaitement en deux. Chaque triangle rectangle a un angle de ½θ, ou dans ce cas (½)(120) = 60 degrés.

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 13

3. Utiliser la trigonométrie pour déterminer la valeur de h. Maintenant que vous avez un triangle rectangle, vous pouvez appliquer les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus et tangente). Dans l`exemple de problème, vous savez quelle est l`hypoténuse et vous voulez la valeur de h savoir, le côté à côté de l`angle connu. Utilisez le fait que cosinus = adjacent / hypoténuse pour h résoudre:

cos(θ/2) = h / s

cos(60º) = h / 10

h = 10cos(60º)

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 14

4. Déterminer la valeur du côté restant. Il y a un côté encore inconnu du triangle rectangle, que vous X peut nommer. Résolvez ceci avec la définition sinus = opposé / hypoténuse :

sin(θ/2) = x / s

péché(60º) = x / 10

x = 10sin(60º)

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 15

5. Utiliser la relation de x à la base du triangle isocèle. Vous pouvez maintenant "zoomer" sur le triangle isocèle en question. La base b de cet angle est égal à 2X, puisqu`il était divisé en deux segments, chacun d`une longueur X.

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 16

6. Utiliser les valeurs h et b dans la formule de l`aire du triangle. Maintenant que vous connaissez la base et la hauteur, vous pouvez appliquer la formule standard A = ½bh :

une = \frac{1}{2} b h

$A={frac{1}{2}}bh$

= \frac{1}{2} (2 X) (dix c ô s 60)

$={frac{1}{2}}(2x)(10cos60)$

= (dix s je m 60) (dix c ô s 60)

$=(10sin60)(10cos60)$

= 100 s je m (60) c ô s (60)

$=100sin(60)cos(60)$

En utilisant une calculatrice (réglée en degrés), vous obtenez environ 43,3 cm2 comme réponse. Alternativement, utilisez les propriétés de la trigonométrie pour les simplifier en A = 50sin(1200).

Image intitulée Trouver l`aire d`un triangle isocèle Étape 17

sept. Réécrivez ceci comme une formule universelle. Maintenant que vous savez comment résoudre ce problème, vous pouvez appliquer la formule générale sans passer par tout le processus à chaque fois. Voici ce que vous obtenez si vous répétez ce processus, sans utiliser de valeurs spécifiques (et en simplifiant à l`aide des propriétés de trigonométrie) :

une = \frac{1}{2} s^{2} s je m ??

$A={frac{1}{2}}s^{2}sintheta$

s est la longueur de l`un des deux côtés égaux.

est l`angle entre les deux côtés égaux.

Des astuces

Si vous avez affaire à un triangle rectangle isocèle (deux côtés égaux et un angle de 90 degrés), il est beaucoup plus facile de trouver l`aire. Si vous utilisez l`un des côtés courts comme base, l`autre côté court correspond à la hauteur. Maintenant, la formule A = ½ b * h peut être simplifiée en ½s, où s est la longueur d`un petit côté.
Les racines carrées ont deux solutions, une positive et une négative, mais vous pouvez ignorer le négatif en géométrie. Par exemple, vous ne pouvez pas avoir un triangle avec une "hauteur négative".
Certains problèmes trigonométriques vous donnent d`autres informations pour commencer, comme la longueur de la base et un angle (et le fait que le triangle est isocèle). La stratégie de base reste la même : diviser le triangle isocèle en triangles rectangles et calculer la hauteur à l`aide de fonctions trigonométriques.