Comprendre l'analyse (avec des images)

Teneur

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Des astuces

L`analyse (également appelée calcul) est une branche des mathématiques axée sur les limites, les fonctions, les dérivées, les intégrales et les séries infinies. Ce sujet couvre une grande partie des mathématiques et sous-tend de nombreuses formules et équations utilisées en physique et en mécanique. Vous aurez probablement besoin de plusieurs années de mathématiques au lycée pour bien comprendre l`analyse, mais cet article vous permettra de commencer à reconnaître les concepts clés, ainsi qu`une meilleure compréhension de la théorie.

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Partie 1 sur 3: Les bases de l`analyse

Image intitulée Comprendre le calcul, étape 1

1. L`analyse est l`étude de la façon dont les choses changent. L`analyse est une branche des mathématiques qui examine les nombres et les graphiques, généralement tirés de données du monde réel, et explique comment ils changent. Bien que cela puisse ne pas sembler très utile au début, l`analyse est l`une des branches les plus couramment utilisées des mathématiques. Imaginez avoir les outils qui peuvent vous dire à quelle vitesse votre entreprise se développe à un moment donné, ou pour tracer la trajectoire d`un vaisseau spatial, et à quelle vitesse le carburant est utilisé. L`analyse est un outil important dans l`ingénierie, l`économie, les statistiques, la chimie et la physique, et a contribué à de nombreuses inventions et découvertes.

Image intitulée Comprendre le calcul, étape 2

2. Les fonctions sont des relations entre deux nombres et sont utilisées pour mapper des relations. Ce sont des règles pour la relation entre les nombres, et les mathématiciens les utilisent pour faire des graphiques. Dans une fonction, chaque entrée a exactement un résultat. Par exemple : dans

oui = 2 X + 4,

$y=2x+4,$ renvoie n`importe quelle valeur de

X

$X$ une nouvelle valeur pour

oui .

$y$ Dans le cas où

X = 2,

$x=2,$ alors c`est

oui = 8.

$y=8$ Dans le cas où

X = dix,

$x=10,$ , puis

oui = 24.

$y=24$ L`analyse étudie toujours les fonctions et leur évolution, en utilisant ces fonctions pour cartographier les relations.

Les fonctions sont souvent écrites comme

F (X) = X + 3.

$f(x)=x+3$ Cela signifie que la fonction

F (X)

$f(x)$ ajoutez toujours 3 au nombre que vous avez pour

X

$X$ remplir. Si vous entrez 2, vous écrivez

F (2) = (2) + 3,

$f(2)=(2)+3,$ ou

F (2) = 5.

$f(2)=5$

Les fonctions peuvent également afficher des mouvements complexes. La NASA, par exemple, a une fonction pour décrire la vitesse d`une fusée, basée sur le taux de consommation de carburant, la résistance au vent et le poids de la fusée.

Image intitulée Comprendre le calcul, étape 3

3. Pensez à la notion d`infini. L`infini est la répétition continue d`un processus. Ce n`est pas un endroit spécifique (vous ne pouvez pas aller à l`infini), mais plutôt le comportement d`un nombre ou d`une équation, si c`est fait pour toujours. Ceci est important pour étudier le changement : vous voudrez peut-être savoir à quelle vitesse votre voiture roule à un moment donné, mais est-ce à quelle vitesse votre voiture roule pendant la seconde en cours ?? milliseconde? Nanoseconde? Vous pouvez trouver des morceaux de temps infiniment plus petits pour être encore plus précis, et c`est à ce moment-là que l`analyse entre en jeu.

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4. Comprendre la notion de limites. Une limite vous dit ce qui se passe lorsque quelque chose approche l`infini. Prenez le nombre 1 et divisez-le par 2. Continuez à diviser par 2, encore et encore. 1 devient ½ puis 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, etc. Chaque fois que le nombre devient de plus en plus petit, "plus proche" de zéro. Mais où s`arrête-t-il? Combien de fois faut-il diviser 1 par 2 pour obtenir zéro ?? Au lieu de répondre à cette question, vous proposez en analyse une limite Dans ce cas, la limite est.

Les limites sont plus faciles à visualiser sur un graphique - par exemple, y a-t-il des points qui sont proches de toucher un graphique, mais jamais tout à fait?

Les limites peuvent être numériques, infinies ou même inexistantes. Par exemple, avec la séquence d`addition 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... et cela continue indéfiniment, alors le nombre final devient infiniment grand. La limite devient alors infinie.

Image intitulée Comprendre le calcul, étape 5

5. Parcourez les concepts mathématiques essentiels de l`algèbre, de la trigonométrie et des bases des mathématiques. L`analyse repose sur une grande partie des mathématiques que vous avez apprises auparavant. Être bien versé dans tous les sujets facilite l`apprentissage et la compréhension de l`analyse. Voici quelques sujets pour rafraîchir vos connaissances :

Algèbre. Vous devez comprendre les différents processus et être capable de résoudre des équations et des systèmes d`équations à plusieurs variables. Comprendre les bases des collections. S`entraîner à faire des graphiques.

Géométrie. La géométrie est l`étude des formes. Vous devez avoir les connaissances de base des triangles, des rectangles et des cercles, et savoir comment calculer des choses comme le périmètre et l`aire. Comprendre les angles, les lignes et les coordonnées

trigonométrie. La trigonométrie est la branche des mathématiques qui s`intéresse aux propriétés des cercles et des triangles rectangles. Savoir utiliser les identités trigonométriques, les graphes, les fonctions et les fonctions trigonométriques inverses.

Image intitulée Comprendre le calcul, étape 6

6. Obtenez une calculatrice graphique. L`analyse n`est pas facile à comprendre sans voir ce que vous faites. Les calculatrices graphiques rendent les fonctions visuelles afin que vous puissiez mieux comprendre à quelles équations vous avez affaire. Souvent, les limites sont également affichées à l`écran et les dérivées et fonctions sont calculées automatiquement.

De nombreux smartphones et tablettes offrent aujourd`hui des applications graphiques bon marché mais efficaces si vous ne voulez pas ou ne pouvez pas acheter une calculatrice graphique.

Partie 2 sur 3: Comprendre les dérivés

Image intitulée Comprendre l`étape 7 du calcul

1. L`analyse est utilisée pour étudier le « changement à un moment précis ». Savoir pourquoi quelque chose change à un moment précis est le cœur de l`analyse. Par exemple, l`analyse vous donne non seulement la vitesse d`une voiture, mais aussi combien cette vitesse change à un moment donné. C`est l`une des utilisations les plus simples de l`analyse, mais très importante. Imaginez à quel point ces informations sont importantes pour déterminer la vitesse nécessaire pour amener un vaisseau spatial sur la lune!

Déterminer le changement à un moment donné a différencier. La différenciation est la première des deux grandes branches de l`analyse.

Image intitulée Comprendre le calcul, étape 8

2. Utiliser des dérivés pour comprendre comment les choses changent à un moment donné. Un « dérivé » est un mot sophistiqué pour quelque chose qui rend souvent les étudiants nerveux. Le concept lui-même n`est cependant pas si difficile à comprendre - cela signifie simplement « à quelle vitesse quelque chose change ». Les dérivés que vous rencontrerez le plus dans la vie quotidienne ont à voir avec la vitesse. Cependant, vous ne l`appelez généralement pas « la dérivée de la vitesse », mais simplement « l`accélération ».

L`accélération est un dérivé - elle vous indique à quelle vitesse quelque chose accélère ou décélère, c`est-à-dire comment sa vitesse change.

Image intitulée Comprendre le calcul, étape 9

3. Sachez que le taux de variation est égal à la pente entre deux points. C`est l`une des découvertes les plus importantes de l`analyse. Le taux de variation entre deux points est égal à la pente de la droite entre ces deux points. Il suffit de penser à une ligne simple, comme celle de l`équation

oui = 3 X .

$y=3x$ La pente de la droite est de 3, ce qui signifie que pour chaque nouvelle valeur de

X,

$X,$

oui

$oui$ change de 3. La pente est la même que le taux de variation : une pente de trois signifie que la ligne change de 3 (devient trois fois plus grande) pour chaque changement de

X .

$X$ Quand

X = 2, oui = 6;

$x=2,y=6 ;$ Quand

X = 3, oui = 9.

$x=3,y=9$

La pente de la droite est le changement de y divisé par le changement de x`.`

Plus la pente est grande, plus la ligne est raide. Donc changer des lignes raides signifie un changement rapide.

Rafraîchissez vos connaissances sur la détermination de la pente d`une ligne si elle a un peu coulé.

Image intitulée Comprendre le calcul, étape 10

4. Sachez que vous pouvez déterminer la pente de lignes courbes. Déterminer la pente d`une droite est relativement simple : combien change

oui

$oui$ pour toute valeur de

X ?

$X?$ Mais des équations complexes comme

oui = X 2

$y=x^{{2}}$ pour une courbe, sont beaucoup plus difficiles à déterminer. Cependant, vous pouvez toujours déterminer le taux de changement entre deux points - il suffit de tracer une ligne entre les deux points et de calculer la pente.

Par exemple, dans

oui = X 2,

$y=x^{{2}},$ vous pouvez choisir deux points et calculer la pente. prendre

(1, 1)

$(1,1)$ et

(2, 4) .

$(2.4)$ La pente entre ces points est alors égale à

4 - 1 2 - 1 = \frac{4}{2} = 2.

${frac{4-1}{2-1}}={frac{4}{2}}=2$ Cela signifie que le changement entre

X = 1

$x=1$ et

X = 2

$x=2$ est égal à 2.

Image intitulée Comprendre l`étape 11 du calcul

5. Si vous souhaitez calculer le changement avec plus de précision, assurez-vous que les points sont plus proches les uns des autres. Plus vous rapprochez les deux points, plus votre réponse est précise. Supposons que vous vouliez savoir combien votre voiture accélère lorsque vous appuyez sur la pédale d`accélérateur. Vous ne voulez pas mesurer le changement de vitesse entre votre domicile et le supermarché, mais le changement de vitesse à partir du moment où vous appuyez sur l`accélérateur. Plus votre lecture se rapproche de cette fraction de seconde, plus votre calcul du changement est précis.

Par exemple, les scientifiques étudient à quelle vitesse certaines espèces disparaissent afin de les sauver. Cependant, plus d`animaux meurent en hiver qu`en été, il n`est donc pas utile d`étudier le taux de changement sur toute l`année - il est préférable de déterminer le taux de changement sur une période plus courte, comme du 1er juillet au 1er août.

Image intitulée Comprendre l`étape 12 du calcul

6. Utilisez des lignes infiniment courtes pour déterminer le « taux de changement instantané » ou trouvez la dérivée. C`est là que l`analyse devient souvent un peu confuse, mais c`est en fait le résultat de deux faits simples. Tout d`abord, vous savez que la pente d`une ligne est égale à la vitesse à laquelle cette ligne change. Deuxièmement, vous savez que plus les points de la ligne sont proches les uns des autres, plus la lecture deviendra précise. Mais comment trouver le taux de variation en un point donné si la pente est la relation entre deux points? La réponse: Vous choisissez deux points infiniment proches l`un de l`autre.

Pensez à l`exemple où vous continuez à diviser 1 par 2, et avec cela 1/2, 1/4, 1/8, etc. obtient. Donc, à la fin, vous vous rapprochez de zéro et la réponse est "presque zéro". Les points sont si proches les uns des autres qu`ils sont "presque égaux". C`est la nature des dérivés.

Image intitulée Comprendre l`étape 13 du calcul

sept. Apprenez à déterminer diverses dérivées. Il existe de nombreuses techniques différentes pour trouver une dérivée en fonction de l`équation, mais la plupart d`entre elles ont du sens une fois que vous vous souvenez des bases des dérivées ci-dessus. Toutes les dérivées sont un moyen de trouver la pente d`une ligne « infiniment petite ». Maintenant que vous en savez plus sur la théorie des dérivés, une grande partie du travail consiste à trouver les réponses.

Image intitulée Comprendre l`étape 14 du calcul

8. Déterminer les équations dérivées pour prédire le taux de changement à tout moment. Il est utile de déterminer le taux de changement à un moment donné à l`aide de dérivés, mais la beauté de l`analyse est que vous pouvez créer un nouveau modèle pour n`importe quelle fonction. La dérivée de

oui = X 2,

$y=x^{{2}},$ par exemple, est

oui sexe = 2 X .

$y^{{prime }}=2x$ Cela signifie que vous pouvez trouver la dérivée pour n`importe quel point sur un graphique

oui = X 2

$y=x^{{2}}$ en substituant dans la dérivée. Sur le point

(2, 4),

$(2.4),$ par lequel

X = 2,

$x=2,$ est la dérivée 4, car

oui sexe = 2 (2) .

$y^{{prime }}=2(2)$

Il existe différentes notations pour les dérivés. Dans l`étape précédente, les dérivées étaient indiquées par un caret --- la dérivée de

oui,

$oui,$ puis écris-le comme

oui sexe .

$y^{{prime }}$ C`est ce qu`on appelle la notation de Lagrange.

Il y a une autre façon qui est souvent utilisée pour écrire des dérivés. Au lieu d`un soin, vous notez

ré ré X .

${frac{{mathrm{d}}}{{mathrm{d}}x}}$ Rappelez-vous que la fonction

oui = X 2

$y=x^{{2}}$ dépend de la variable

X .

$X$ Nous écrivons donc la dérivée sous la forme

ré oui ré X

${frac{{mathrm{d}}y}{{mathrm{d}}x}}$ --- la dérivée de

oui

$oui$ jusqu`à

X .

$X$ C`est ce qu`on appelle la notation de Leibniz.

Image intitulée Comprendre l`étape 15 du calcul

9. Essayez de vous souvenir d`exemples pratiques de dérivés, si vous trouvez cela difficile à comprendre. L`exemple le plus simple est basé sur la vitesse, englobant de nombreux dérivés différents que nous rencontrons chaque jour. Ne pas oublier: une dérivée est une mesure de la rapidité avec laquelle quelque chose change. Pensez à une expérience simple. Vous faites rouler une bille sur une table et mesurez à quelle distance elle se déplace à chaque fois et à quelle vitesse. Imaginez maintenant que la bille roulante suit une ligne sur un graphique - vous utilisez des dérivés pour mesurer les changements instantanés à tout moment sur cette ligne.

À quelle vitesse la bille se déplace-t-elle ?? A quelle vitesse la position (ou dérivée) de la bille en mouvement change-t-elle ?? Nous appelons cette dérivée « vitesse ».

Faites rouler la bille sur une rampe et voyez comment la vitesse change. Quel est le taux de changement, ou dérivé, de la vitesse de la bille ?? Cette dérivée est ce que nous appelons « accélération ».

Faites rouler la bille le long d`une piste vallonnée, comme des montagnes russes. De combien la bille gagne-t-elle de la vitesse lorsqu`elle roule vers le bas, et de combien la bille ralentit-elle en montée ?? À quelle vitesse le marbre va-t-il exactement quand il est à mi-hauteur de la première colline? C`est alors le taux de changement instantané, ou la dérivée, de cette bille à ce point spécifique.

Partie3 sur 3: Comprendre les intégrales

Image intitulée Comprendre l`étape 16 du calcul

1. Sachez que vous pouvez utiliser l`analyse pour trouver des zones et des volumes complexes. L`analyse vous permet de mesurer des formes complexes qui seraient autrement difficiles à mesurer. Considérez, par exemple, la question de savoir combien d`eau il y a dans un lac long et de forme irrégulière - il est impossible de mesurer chaque litre d`eau individuellement ou d`utiliser une règle pour mesurer la forme du lac. Grâce à l`analyse, vous pouvez étudier l`évolution des bords du lac, puis utiliser ces informations pour déterminer la quantité d`eau qu`il contient.

La réalisation de modèles géométriques et l`étude des volumes a intégrer. Le calcul intégral est la deuxième branche importante de l`analyse.

Image intitulée Comprendre l`étape 17 du calcul

2. Sachez que l`intégration est l`aire sous un graphe. L`intégration est utilisée pour mesurer l`espace sous une ligne, ce qui vous permet de déterminer la zone de formes étranges ou irrégulières. Prends l`équation

oui = 4 - X 2,

$y=4-x^{{2}},$ Cela ressemble à un `U` inversé. Vous pouvez calculer combien d`espace il y a sous le U, en utilisant le calcul intégral. Vous vous demandez peut-être à quoi cela sert, mais pensez à son utilisation dans les processus de fabrication - vous pouvez créer une fonction qui ressemble à une nouvelle pièce et utiliser l`arithmétique intégrale pour trouver l`aire de cette pièce et pour vous aider à commander la bonne quantité de matériel.

Image intitulée Comprendre l`étape 18 du calcul

3. Savoir sélectionner une zone à intégrer. Vous ne pouvez pas simplement intégrer une fonction entière. Par exemple,

oui = X

$y=x$ est une ligne diagonale qui s`étend indéfiniment, et vous ne pouvez pas intégrer le tout, car cela ne s`arrêterait jamais. Lors de l`intégration des fonctions, vous devez choisir une zone, telle que tous les points entre

X = 2

$x=2$ et

X = 5.

$x=5$

Image intitulée Comprendre l`étape 19 du calcul

4. Comment calcule-t-on l`aire d`un rectangle ?. Supposons que vous ayez une ligne plate au-dessus d`un graphique, telle que

oui = 4.

$y=4$ Pour trouver l`aire en dessous, trouvez l`aire d`un rectangle entre

oui = 0

$y=0$ et

oui = 4.

$y=4$ C`est facile à mesurer, mais cela ne fonctionnera pas avec des lignes ondulées car vous ne pouvez pas facilement les convertir en rectangles.

Image intitulée Comprendre l`étape 20 du calcul

5. Sachez qu`en calcul intégral de nombreux petits rectangles sont additionnés pour trouver l`aire d`une aire. Si vous agrandissez énormément une courbe, cela ressemble à une ligne droite. Vous voyez cela tous les jours -- vous ne pouvez pas voir la courbure de la Terre parce que vous êtes si près de la surface de la Terre. L`intégration crée un nombre infini de petits rectangles sous une courbe qui sont si petits qu`ils sont fondamentalement plats, vous permettant de les compter. Tous ces rectangles additionnés forment l`aire de l`aire sous une courbe.

Supposons que vous additionnez un grand nombre de petits segments sous le graphique et que la largeur de chaque segment presque zéro est.

Image intitulée Comprendre l`étape 21 du calcul

6. Savoir lire et écrire correctement les intégrales. Les intégrales se composent de 4 parties. Une intégrale typique ressemble à ceci :

?? F (X) ré X

$int f(x){mathrm{d}}x$

Le premier symbole,

??,

$int ,$ est le symbole de l`intégration (il s`agit en fait d`un S étiré).

La seconde partie,

F (X),

$f(x),$ est la fonction. S`il est à l`intérieur de l`intégrale, on l`appelle de intégral.

Et enfin le

ré X

${mathrm{d}}x$ à la fin, qui vous indique quelle variable vous intégrez et à quelle. Parce que la fonction

F (X)

$f(x)$ cela dépend de

X,

$X,$ est ce vers quoi tu t`intègres.

N`oubliez pas que la variable que vous intégrez peut ne pas toujours être

X,

$X,$ sera, alors faites attention à ce que vous écrivez.

Image intitulée Comprendre le calcul, étape 22

sept. En savoir plus sur la recherche d`intégrales. Le calcul intégral se présente sous de nombreuses formes, et vous devez apprendre beaucoup de formules différentes pour intégrer chaque fonction. Cependant, ils suivent tous les principes énoncés ci-dessus : l`intégration est la somme d`un nombre infini de choses.

Intégrer par substitution.

Calcul des intégrales indéfinies.

Intégrer en partageant.

Image intitulée Comprendre l`étape 23 du calcul

8. Sachez que l`intégration est l`inverse de la différenciation, et vice versa. Il s`agit d`une règle d`analyse si importante qu`elle a reçu son propre nom : le théorème fondamental du compte intégral. Étant donné que l`intégration et la différenciation sont si étroitement liées, une combinaison des deux peut être utilisée pour mesurer le taux de changement, l`accélération, la vitesse, l`emplacement, le mouvement, etc. déterminer, quelles que soient les informations dont vous disposez.

Par exemple, rappelez-vous que la dérivée de la vitesse est l`accélération, vous pouvez donc utiliser la vitesse pour trouver l`accélération. Mais si vous ne connaissez que l`accélération de quelque chose (comme des objets qui tombent à cause de la gravité), vous pouvez l`intégrer pour retrouver la vitesse!

Image intitulée Comprendre l`étape 24 du calcul

9. Sachez que l`intégration permet également de contrôler le volume des objets 3D. Faire tourner une forme plate est un moyen de créer des solides 3D. Imaginez simplement une pièce de monnaie sur la table en train de tourner - remarquez comment la pièce semble prendre la forme d`une sphère lorsqu`elle tourne. Ce concept vous permet de déterminer le volume par un processus connu sous le nom de « volume par rotation ».

Cela vous permet de déterminer le volume de n`importe quel solide, tant que vous avez une fonction qui le représente. Par exemple, vous pouvez créer une fonction qui suit le fond d`un lac, puis l`utiliser pour déterminer le volume du lac ou la quantité d`eau qu`il contient.

Des astuces

La pratique rend parfait, alors faites les exercices pratiques de votre manuel - même ceux que votre professeur n`a pas spécifiés - et vérifiez vos réponses pour mieux comprendre les concepts.
Si vous n`arrivez pas à comprendre quelque chose, demandez à votre professeur.