Instructions gratuites étape par étape 
Notez que chaque résultat est inférieur de 10 $ à celui décrit ci-dessus, car vous devez d`abord payer 10 $ par jeu, quel que soit le résultat. 
Votre calculatrice 1/6 peut faire quelque chose comme 0,166667. Nous arrondirons à 0,167 pour faciliter le calcul, sans sacrifier la précision. Si vous voulez un résultat très précis, ne le convertissez pas en décimal, entrez simplement 1/6 dans la formule et calculez-le comme ceci sur votre calculatrice. 
Il n`est pas nécessaire de calculer ces résultats maintenant, si vous avez une calculatrice qui peut effectuer plusieurs opérations à la fois. Vous obtiendrez un résultat plus précis si vous entrez l`équation entière. 
Plus une situation est répétée, plus la valeur attendue est une représentation précise du résultat moyen réel. Par exemple, vous pouvez jouer au jeu 5 fois de suite et perdre à chaque fois, ce qui entraîne une perte moyenne de 10 €. Cependant, si vous jouez au jeu 1000 fois de plus, le résultat moyen se rapprochera de plus en plus de la valeur attendue de -1,67 € par jeu. Ce principe s`appelle "la loi des grands nombres." 
x = ___ 
x = (0,5)(x+1) + ___ Nous allons remplir l`espace vide en continuant à penser à d`autres situations. Vous pouvez utiliser des fractions au lieu de décimales si c`est plus facile ou nécessaire. 
Si le deuxième tirage est une pièce de monnaie, alors nous sommes de retour au début. Si la deuxième fois est aussi une tasse, alors nous avons terminé! 
x = (0.5)(x+1) + (0.25)(x+2) + ___ 
x = (0,5)(x+1) + (0,25)(x+2) + (0,25)(2) Si vous n`êtes pas sûr d`avoir réfléchi à toutes les situations possibles, il existe un moyen simple de vérifier si l`équation est complète. Le premier nombre de chaque partie de l`équation représente la probabilité qu`un événement se produise. Cela ajoutera toujours jusqu`à 1. Ici 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, donc nous savons que nous avons inclus toutes les situations. 
x = 0,5x + (0,5)(1) + 0,25x + (0,25)(2) + (0,25)(2) x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5 x = 0,75x + 1,5 
x = 0,75x + 1,5 x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x 0,25x = 1,5 (0,25x)/(0,25) = (1,5)/(0,25) x = 6 En moyenne, vous devrez lancer une pièce 6 fois avant de lancer deux fois la tête. 
La croyance que vous pouvez avoir de la chance ou de la malchance en lançant des pièces (ou tout autre jeu de hasard), ou que toute votre malchance est maintenant terminée et que la chance sera de votre côté, est aussi appelé sophisme du joueur (ou sophisme du joueur). Cela a à voir avec la tendance des gens à prendre des décisions risquées ou stupides lorsqu`ils sentent que la chance est de leur côté, ou qu`ils "série de chance" ou s`ils sentent leur "la chance est sur le point de tourner." 
Calcul de la valeur attendue
Teneur
L`espérance est un terme statistique et un concept utilisé pour décider de l`utilité ou de la nocivité d`une action. Afin de calculer la valeur attendue, il est nécessaire d`acquérir une bonne compréhension de chaque résultat dans une situation particulière et de sa probabilité associée, c`est-à-dire la probabilité qu`un résultat particulier se produise. Les étapes ci-dessous fournissent des exemples d`exercices pour vous aider à comprendre le concept de la valeur attendue.
Pas
Méthode 1 sur 3: Un premier problème simple
1. Lire le devoir. Avant de commencer à réfléchir à tous les résultats et probabilités possibles, il est important que vous compreniez bien le problème. Par exemple, un jeu de dés qui coûte 10€ par partie. Un dé à 6 faces est lancé une fois et vos gains dépendent du nombre que vous lancez. Si un 6 est obtenu, vous gagnez 30 € ; un 5 vous rapporte 20 $ ; tout autre nombre ne donne rien.
2. Lister tous les résultats possibles. Il permet de lister tous les résultats possibles dans une situation donnée. Dans l`exemple ci-dessus, il y a 6 résultats possibles. Ce sont : (1) lancez un 1 et vous perdez 10 $, (2) lancez un 2 et vous perdez 10 $, (3) lancez un 3 et vous perdez 10 $, (4) lancez un 4 et vous perdez 10 $, (5) faites un 5 et gagnez 10€, (6) faites un 6 et gagnez 20€.
3. Déterminer la probabilité de chaque résultat. Dans ce cas, la probabilité d`obtenir 6 résultats est la même. La probabilité d`obtenir un nombre aléatoire est de 1 sur 6. Pour faciliter l`écriture, nous écrivons la fraction (1/6) sous forme décimale à l`aide d`une calculatrice : 0,167. Écrivez cette probabilité à côté de chaque résultat, surtout si vous voulez résoudre un problème avec des probabilités différentes pour chaque résultat.
4. Enregistrez la valeur de chaque résultat. Multipliez le nombre d`euros d`un résultat par la probabilité que ce résultat se produise pour calculer combien d`argent ce résultat contribue à la valeur attendue. Par exemple, le résultat d`un 1 est de -10 $ et la probabilité d`obtenir un 1 est de 0,167. La valeur de rouler un 1 est donc (-10) * (0,167).
5. Additionnez la valeur de chaque résultat pour obtenir la valeur attendue d`un événement. Pour continuer avec l`exemple ci-dessus, la valeur attendue du jeu de dés est : (-10 *0.167) + (-10 *0.167) + (-10 *0.167) + (-10 *0.167) + (10 *0.167) + (20 * 0,167), soit - 1,67 €. Vous pouvez donc vous attendre à perdre 1,67 $ à chaque fois sur ce jeu (par jeu).
6. Quelles sont les implications du calcul de la valeur attendue. Dans l`exemple ci-dessus, nous avons déterminé que le gain (perte) attendu serait de - 1,67 $ par rouleau. C`est un résultat impossible pour 1 jeu ; vous pouvez perdre 10€, gagner 10€ ou gagner 20€. Mais à long terme, la valeur attendue est une probabilité moyenne utile. Si vous continuez à jouer à ce jeu, vous perdrez environ 1,67 $ par jeu, en moyenne. Une autre façon de penser à la valeur attendue est d`attribuer certains coûts (ou avantages) au jeu ; vous ne devriez jouer à ce jeu que si vous pensez que cela en vaut la peine, comme il suffit de dépenser 1,67 $ à chaque fois.
Méthode 2 sur 3: Calcul de la valeur attendue pour un résultat spécifique
1. Utilisez cette méthode pour calculer le nombre moyen de pièces que vous devez retourner avant qu`un certain motif ne se produise. Par exemple, vous pouvez utiliser la méthode pour connaître le nombre attendu de pièces à lancer jusqu`à ce que vous touchiez face deux fois de suite. Ce problème est un peu plus délicat qu`un problème de valeur attendue standard, donc si vous n`êtes pas familier avec la valeur attendue, lisez d`abord la partie ci-dessus de cet article.
2. Supposons que nous cherchions une valeur x. Vous essayez de déterminer combien de pièces vous devez renverser en moyenne pour obtenir face deux fois de suite. Faisons maintenant une comparaison pour trouver la réponse. Nous appelons la réponse que nous recherchons x. Nous effectuons la comparaison nécessaire étape par étape. Nous avons actuellement les éléments suivants :
3. Pensez à ce qui se passe lorsque le premier flip paie.Dans la moitié des cas ce sera le cas. Si tel est le cas, alors vous devez faire demi-tour "gaspillé", alors que la probabilité de toucher deux têtes d`affilée n`a pas changé. Comme pour le tirage au sort, on s`attend à ce que vous deviez lancer un nombre moyen de fois pour obtenir deux têtes de suite. En d`autres termes, vous devez vous attendre à lancer un nombre x de fois, plus ceux que vous avez déjà tournés. Sous forme d`équation :
4. Pensez à ce qui se passe lorsque vous lancez votre tête. Il y a 0,5 (ou 1/2) chance que vous rouliez une tasse la première fois. Cela semble se rapprocher de l`objectif de lancer une tête deux fois de suite, mais combien? Le moyen le plus simple de le savoir est de réfléchir à vos options au deuxième lancer :
5. Apprenez à calculer la probabilité que deux événements se produisent tous les deux. Nous savons maintenant que vous avez 50% de chances de toucher une tête, mais quelle est la probabilité de faire rouler une tête deux fois de suite ?? Pour calculer cette probabilité, multipliez la probabilité des deux ensemble. Dans ce cas, c`est 0,5 x 0,5 = 0,25. C`est bien sûr aussi la probabilité que vous lanciez d`abord pile puis pile, car elles ont toutes les deux une probabilité de 0.5 à se produire : 0,5 x 0,5 = 0,25.
6. Additionnez le résultat pour "têtes, puis queues" à la comparaison. Maintenant que nous avons calculé la probabilité que cet événement se produise, nous pouvons passer au développement de l`équation. Il y a 0,25 (ou 1/4) de chance que nous perdions deux lancers sans faire un pas de plus. Mais maintenant, nous avons encore besoin de x lancers supplémentaires en moyenne pour obtenir le résultat souhaité, plus les 2 que nous avons déjà obtenus. Sous forme d`équation, cela devient (0,25)(x+2), que nous pouvons maintenant ajouter à l`équation :
sept. Préfixer le résultat "tête tête" ajouter à la comparaison. Si vous lancez la tête avec les deux premiers lancers de pièces, vous avez terminé. Vous avez obtenu le résultat en exactement 2 lancers. Comme nous l`avons établi précédemment, il y a 0,25 chance que cela se produise, donc l`équation pour cela est (0,25) (2). Notre équation est maintenant terminée :
8. Simplifier l`équation. Simplifions l`équation en multipliant. Rappelez-vous, si vous voyez quelque chose entre parenthèses comme ceci : (0,5)(x+1), alors vous multipliez 0,5 par chaque terme à l`intérieur du deuxième ensemble de parenthèses. Cela vous donne ce qui suit : 0,5x + (0.5)(1), ou 0,5x + 0,5. Faisons cela pour chaque terme de l`équation, puis combinons ces termes pour rendre les choses un peu plus simples :
9. Résoudre pour x. Comme dans toute équation, vous devrez isoler le x d`un côté de l`équation pour le calculer. Rappelez-vous que x signifie la même chose que "le nombre moyen de pièces que vous devez lancer pour obtenir face deux fois de suite." Lorsque nous avons calculé x, nous avons également trouvé notre réponse.
Méthode 3 sur 3: Comprendre le concept
1. Qu`est-ce qu`une valeur attendue exactement ?. La valeur attendue n`est pas nécessairement le résultat le plus évident ou le plus logique. Parfois, une valeur attendue peut même être une valeur impossible dans une situation donnée. Par exemple, la valeur attendue pourrait être de +5 $ pour un jeu dont le prix ne dépasse pas 10 $. Ce que la valeur attendue indique, c`est la valeur qu`un événement particulier a. Si un jeu a une valeur attendue de + 5 $, vous pouvez y jouer si vous pensez que cela vaut le temps et l`argent que vous pouvez obtenir par jeu. Si un autre jeu a une valeur attendue de -20 $, vous n`y jouerez que si vous pensez que chaque jeu vaut les 20 $.
2. Comprendre le concept d`événements indépendants. Dans la vie de tous les jours, beaucoup d`entre nous pensent que nous avons un jour de chance quand de bonnes choses arrivent, et nous nous attendons à ce que le reste de la journée soit le même. De la même manière, nous pouvons penser que nous avons eu assez d`accidents avant et que quelque chose de vraiment sympa doit arriver maintenant. Mathématiquement, les choses ne fonctionnent pas de cette façon. Si vous lancez une pièce de monnaie ordinaire, il y a exactement la même chance que vous jetiez une tête ou une pièce de monnaie. Le nombre de fois que vous avez lancé n`a pas d`importance ; la prochaine fois que vous le lancerez, cela fonctionnera toujours de la même manière. Lancer la pièce est "indépendant" des autres moulages, il n`en est pas affecté.
3. Comprendre la loi des grands nombres. Vous pourriez penser que la valeur attendue n`est pas vraiment utile, car elle ne vous dit que rarement quel est le résultat réel d`une situation. Si vous avez calculé que la valeur attendue d`un jeu de roulette est de -1 € et que vous jouez 3 fois le jeu, vous obtiendrez généralement -10 €, ou + 60 €, ou un autre résultat. le "loi des grands nombres" aide à expliquer pourquoi la valeur attendue est plus utile que vous ne le pensez : plus vous jouez souvent, plus le résultat moyen sera proche de la valeur attendue. Lorsque vous regardez le grand nombre d`événements, il y a de fortes chances que le résultat final soit proche de la valeur attendue.
Des astuces
- Pour les situations où plusieurs résultats sont possibles, vous pouvez créer une feuille de calcul dans l`ordinateur pour calculer la valeur attendue à partir des résultats et de leurs probabilités.
- Les calculs en € ci-dessus fonctionnent également dans d`autres devises.
Nécessités
- Crayon
- Papier
- Calculatrice
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