Formuler des preuves mathématiques

Teneur

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Des astuces

Les preuves mathématiques peuvent être difficiles, mais avec la bonne connaissance de base des mathématiques et de la structure d`une preuve, vous pouvez certainement les formuler avec succès. Malheureusement, il n`y a pas de moyen rapide et facile d`apprendre à construire une preuve. Vous avez besoin d`une base solide dans votre connaissance du sujet pour trouver les bons théorèmes et définitions pour développer votre preuve de manière logique. En lisant des exemples et en pratiquant vous-même, vous serez capable de maîtriser l`habileté des preuves mathématiques.

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Méthode 1 sur 3: Comprendre le problème

1. Comprendre la question. Vous devez d`abord déterminer exactement ce que vous essayez de prouver. Cette question servira aussi de théorème final de la preuve. Dans cette étape, vous définirez également les hypothèses avec lesquelles vous travaillerez. Identifier la question et faire les hypothèses nécessaires vous donne un point de départ pour comprendre le problème et élaborer les preuves.

2. Dessiner des diagrammes. Lorsque vous essayez de comprendre le fonctionnement interne d`un problème mathématique, il est parfois plus facile de dessiner un diagramme de ce qui se passe. Les diagrammes sont particulièrement importants dans les preuves géométriques car ils vous permettent de visualiser ce que vous voulez réellement prouver.

Utiliser les informations données dans le problème pour faire un dessin de la preuve. Nommer les connaissances et les étrangers.

Lors de l`élaboration de la preuve, utilisez les informations nécessaires pour étayer la preuve.

3. Étudier les preuves de théorèmes apparentés. Les preuves sont difficiles à apprendre à composer, mais un excellent moyen d`apprendre cela est d`étudier les théorèmes associés et comment ils ont été prouvés.

Vous rendez-vous compte qu`une preuve n`est qu`un bon argument où chaque étape est justifiée. Vous pouvez trouver de nombreuses preuves à étudier à la fois en ligne et dans un manuel.

4. Poser des questions. C`est très normal de rester coincé dans les preuves. Demandez à votre professeur ou à vos camarades de classe si vous ne pouvez pas le comprendre. Ce dernier peut avoir des questions similaires et vous pouvez travailler ensemble sur les problèmes. Mieux vaut poser des questions et ensuite comprendre que de parcourir aveuglément les preuves.

Consultez votre professeur après la classe pour des explications supplémentaires.

Méthode 2 sur 3: Structurer une preuve

1. Définir des preuves mathématiques. Une preuve mathématique est une série d`énoncés logiques soutenus par des théorèmes et des définitions, qui prouvent l`exactitude d`un autre énoncé mathématique. Les preuves sont le seul moyen de savoir si un énoncé est mathématiquement valide.

Être capable de formuler une preuve mathématique indique une compréhension fondamentale du problème lui-même et de tous les concepts impliqués dans le problème.
Les preuves vous obligent également à regarder les mathématiques d`une manière nouvelle et passionnante. Juste en essayant de prouver quelque chose, vous gagnez plus de connaissances et de compréhension à ce sujet, même si vos preuves ne semblent finalement pas correctes.

2. Connaître son public. Avant d`écrire une preuve, vous devez penser au public pour lequel vous l`écrivez et à ce qu`ils savent déjà. Si vous rédigez une épreuve pour une publication, vous le ferez différemment que pour une classe de lycée.

Connaître votre public vous aidera à articuler les preuves d`une manière qu`il comprendra compte tenu de la quantité de connaissances de base dont dispose le public.

3. Comprendre le type de preuves que vous formulez. Il existe différents types de preuves, et celle que vous choisirez dépendra de votre public cible et de la mission. Si vous n`êtes pas sûr de la version à utiliser, demandez conseil à votre professeur. Au lycée, vous devrez peut-être formuler la preuve dans un format spécifique, comme une preuve formelle à deux colonnes.

Une preuve à deux colonnes est une structure où les données et les réclamations sont placées dans une colonne et les preuves à l`appui dans une deuxième colonne. Ils sont très couramment utilisés en géométrie.

Une preuve informelle en paragraphes utilise des déclarations grammaticalement correctes et moins de symboles. À un niveau supérieur, vous devez toujours utiliser une preuve informelle.

4. Écrivez la preuve en deux colonnes comme un aperçu. Structurer une preuve en deux colonnes est un moyen facile d`organiser vos pensées et d`examiner le problème. Tracez une ligne au centre de la page et écrivez toutes les données et déclarations sur la gauche. Écrivez les définitions/déclarations correspondantes sur la droite, à côté des données qu`elles prennent en charge.

Par exemple:

L`angle A et l`angle B forment une paire linéaire. Données.

L`angle ABC est droit. Définition de l`angle droit.

L`angle ABC est de 180°. Définition d`une ligne.

Angle A + angle B = angle ABC. Postulat pour ajouter des angles.

Angle A + angle B = 180°. substitution.

Angle A en complément de l`angle B. Définition des angles supplémentaires.

Q.E.ré.

5. Convertir la preuve en deux colonnes en une preuve informelle. En partant de la preuve en deux colonnes, écrivez une preuve informelle sous forme de paragraphe sans trop de symboles et d`abréviations.

Par exemple : supposons que les angles A et B sont des paires linéaires. L`hypothèse est que l`angle A et l`angle B se complètent (sont complémentaires). L`angle A et l`angle B forment une ligne droite car ce sont des paires linéaires. Une droite est définie comme ayant un angle de 180°. Étant donné le postulat de l`addition des angles, les angles A et B forment ensemble la ligne ABC. Par substitution, A et B font ensemble 180°, ce sont donc des angles supplémentaires. Q.E.ré.

Méthode 3 sur 3: Formuler les preuves

1. Apprendre le vocabulaire de la preuve mathématique. Il y a certaines déclarations et phrases que vous voyez encore et encore dans une preuve mathématique. Ce sont les phrases que vous devez connaître et pouvoir utiliser lors de la formulation de vos propres preuves.

« Si A, alors B » signifie que vous devez montrer que si A est vrai, B doit également être vrai.
« A si et seulement si B » signifie que vous devez prouver que A et B sont à la fois vrais et faux. Démontrer à la fois « Si A, alors B » et « Si non A, alors pas B ».
« A seulement si B » signifie la même chose que « Si A, alors B », il n`est donc pas souvent utilisé. C`est bien d`en être conscient quand on tombe dessus.
Lors de la préparation de la preuve, évitez d`utiliser « je » en faveur de « nous ».

2. Enregistrer toutes les données. Lors de la compilation d`une preuve, la première étape consiste à identifier et enregistrer toutes les données. C`est le meilleur endroit pour commencer car cela vous aidera à réfléchir à ce qui est connu et aux informations dont vous avez besoin pour compléter la preuve. Lisez le problème et notez chaque détail.

Par exemple : Démontrer que deux angles formant une paire linéaire (angle A et angle B) sont complémentaires.

Soit : l`angle A et l`angle B forment une paire linéaire

Preuve : l`angle A est supplémentaire à l`angle B.

3. Définir toutes les variables. Outre l`écriture des données, il est utile de définir toutes les variables. Écrivez les définitions au début de la preuve pour éviter toute confusion pour le lecteur. Si les variables ne sont pas définies, un lecteur pourrait facilement se perdre en essayant de comprendre vos preuves.

N`utilisez pas de variables dans votre preuve qui ne sont pas encore définies.

Par exemple : Les variables sont les mesures de l`angle A et de l`angle B.

4. Travailler à travers les preuves à l`envers. Il est souvent plus facile de réfléchir à un problème en arrière. Commencez par la conclusion, ce que vous essayez de prouver et réfléchissez aux étapes qui peuvent vous ramener au début.

Modifiez les étapes au début et à la fin pour voir si elles sont similaires. Utilisez les données, les définitions que vous avez apprises et des preuves similaires.

Posez-vous des questions en cours de route. `Pourquoi cela est-il ainsi?` et `Est-il possible que ce soit faux?` sont de bonnes questions pour toute réclamation ou réclamation.

N`oubliez pas d`écrire les étapes dans le bon ordre pour la preuve finale.

Par exemple : si les angles A et B sont complémentaires, alors ils doivent être de 180° ensemble. Les deux angles forment ensemble la ligne ABC. Vous savez qu`ils forment une ligne à cause de la définition des paires linéaires. Puisqu`une ligne droite est de 180°, vous pouvez utiliser la substitution pour prouver que l`angle A et l`angle B totalisent 180°.

5. Placez vos étapes dans un ordre logique. Commencez la preuve au début et avancez jusqu`à la conclusion. Bien qu`il soit utile de réfléchir aux preuves, en commençant par la conclusion et en travaillant à rebours, la présentation des preuves réelles mettra la conclusion à la fin. Les affirmations de la preuve doivent se suivre, avec justification pour chaque affirmation, afin qu`il n`y ait aucune raison de douter de la validité de votre preuve.

Commencez par énoncer les hypothèses avec lesquelles vous travaillez.

Décomposez-les en étapes simples et directes afin que le lecteur n`ait pas à se demander comment une étape suit logiquement une autre.

Il n`est pas rare de formuler plusieurs preuves. Continuez à réorganiser jusqu`à ce que toutes les étapes soient dans l`ordre le plus logique.

Par exemple : commencez par le début.

L`angle A et l`angle B forment une paire linéaire.

L`angle ABC est droit.

L`angle ABC est de 180°.

Angle A + angle B = angle ABC.

Angle A + angle B = 180°.

L`angle A est complémentaire à l`angle B.

6. Éviter l`utilisation de flèches et d`abréviations dans les preuves écrites. Lorsque vous décrivez le plan de votre preuve, vous pouvez utiliser des raccourcis et des symboles, mais lors de la rédaction de la preuve finale, les symboles, tels que les flèches, peuvent dérouter le lecteur. Utilisez plutôt des mots comme « alors » ou « donc ».

Les exceptions à l`utilisation d`abréviations sont : par ex. (par exemple) et d.w.z. (c`est-à-dire), mais assurez-vous de les utiliser correctement.

sept. Soutenir tous les énoncés avec un théorème, une loi ou une définition. Une preuve est aussi bonne que la preuve utilisée. Vous ne pouvez pas faire une réclamation sans la justifier par une définition. Se référer à d`autres preuves similaires à titre d`exemple.

Essayer d`appliquer votre preuve à une affaire où elle faux devrait être, et vérifiez si c`est réellement le cas. Si le résultat n`est pas faux, modifiez la preuve pour qu`elle soit.

De nombreuses preuves géométriques sont écrites sous la forme d`une preuve à deux colonnes, avec l`énoncé et la preuve. Une preuve mathématique formelle destinée à la publication est écrite sous forme de grammaire correcte de paragraphe.

8. Terminez-le par une conclusion ou Q.E.ré. Le dernier énoncé de la preuve doit être l`hypothèse que vous essayiez de prouver. Une fois que vous avez fait cette déclaration, fermez la preuve avec un symbole final, tel que Q.E.ré. ou un carré fermé, pour indiquer que la preuve est complète.

Q.E.ré. signifie « quod erat demonstrandum » (en latin « ce qui devait être prouvé »).

Si vous n`êtes pas sûr que votre preuve soit correcte, écrivez simplement en quelques phrases quelle est votre conclusion et pourquoi elle est importante.